Pritisnjena krožnica

Pritisnjena krožnica.

Pritisnjena krožnica (tudi oskulacijska krožnica) je v diferencialni geometriji krivulj gladka ravninska krivulja, ki je v dani točki $p\,$ na krivulji definirana kot krožnica, ki gre skozi $p\,$ in še skozi dodatno točko, ki je infinitezimalno blizu.

Središče pritisnjenega kroga v dani točki krivulje se imenuje središče ukrivljenosti. Polmer ukrivljenosti v tej točki pa polmer ukrivljenosti.

Matematični opis

Naj bo $y(s)\,$ parametrična oblika enačbe krivulje, pri tem pa je $s\,$ dolžina loka. To določa enotski tangentni vektor $T\,$, enotski pravokotni vektor $N\,$, ukrivljenost $k(s)\,$ in polmer ukrivljenosti v vsaki točki:

$T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}$.

Predpostavimo, da je $P\,$ točka na krivulji $C\,$, kjer je k ≠ 0. Pripadajoče središče ukrivljenosti je v točki $Q\,$ na razdalji $R\,$ vzdolž normalnega vektorja $N\,$, če je k pozitiven in v obratni smeri, če je negativen. Krožnica s središčem v $Q\,$ in polmerom $R\,$ se imenuje pritisnjen krog na krivuljo $C\,$ v točki $P\,$.

Lastnosti

Označimo z $S\,$ pritisnjeno krožnico, s $C\,$ pa ravninsko krivuljo, potem lahko za regularno točko $P\,$ rečemo, da ima naslednje lastnosti:

• krožnica $S\,$ teče skozi točko $P\,$
• krožnica $S\,$ in krivulja $C\,$ imata skupno tangentno premico v točki $P\,$ in tudi skupno normalo (pravokotnico)
• v bližini točke $P\,$ razdalja med točkama na krivulji in na krožnici v smeri normale pada s tretjo potenco ali višjo razdalje do $P\,$ v smeri tangente.

Glej tudi

• dotik (matematika)
• pritisnjena krivulja
• oskulacijski tir

Zunanje povezave

• Pritisnjen krog na MathWorld (angleško)
• Pritisnjen krog v National Curve Bank (angleško)
• Pritisnjen krog Arhivirano 2012-01-08 na Wayback Machine. (angleško)
• Krivulje v ravnini Arhivirano 2011-09-12 na Wayback Machine. (angleško)