Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom (tudi množenje vektorja s skalarjem) je matematična operacija, ki številu (skalarju) n in vektorju ${\vec {a}}$ priredi vektor $n{\vec {a}}$.

Opozorilo: Množenje vektorja s skalarjem ni isto kot skalarni produkt - teh dveh računaskih operacij ne smemo zamenjevati.

Definicija

Rezultat množenja vektorja ${\vec {a}}$ s številom n je vektor $n{\vec {a}}$, določen z naslednjimi lastnostmi:

• vektor $n{\vec {a}}$ je vzporeden z danim vektorjem ${\vec {a}}$
• dolžina vektorja $n{\vec {a}}$ je |n|-krat tolikšna kot dolžina vektorja ${\vec {a}}$
• če je n>0, je $n{\vec {a}}$ enako orientiran kot ${\vec {a}}$; če je n<0, pa je $n{\vec {a}}$ orientiran nasprotno kot ${\vec {a}}$

Množenje vektorja s (pozitivnim) številom torej pomeni razteg ali skrčitev vektorja, njegova smer pa ostane nespremenjena.

Lastnosti

Množenje vektorja s številom ima naslednje računske lastnosti:

Distributivnost glede na seštevanje števil: $(n+m){\vec {a}}=n{\vec {a}}+m{\vec {a}}$

Distributivnost glede na seštevanje vektorjev: $n({\vec {a}}+{\vec {b}})=n{\vec {a}}+n{\vec {b}}$

Homogenost: $n({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})=(n{\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (n{\vec {b}})$

Nevtralni element je število 1: $1\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}$

V običajnem trirazsežnem prostoru lahko vektor zapišemo s tremi koordinatami:

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$

Pri množenju takega vektorja številom n se vse tri koordinate pomnožijo z n:

$n{\vec {a}}=(na_{1},na_{2},na_{3})$

Posplošitve

Računsko operacijo množenje vektorja s skalarjem v matematiki posplošimo tudi na večrazsežne vektorje. Pri množenju takega vektorja številom n se vse koordinate (komponente) pomnožijo z n.

Posplošimo lahko tudi pojem "skalar" oziroma "število": namesto običajnih realnih števil lahko uporabimo npr. kompleksna števila ali tudi elemente kakšnega drugega matematičnega obsega.