Vsakvektor a v treh razsežnostih je linearna kombinacija standardnih baznih vektorjev i , j in k . Standardna baza (tudi naravna baza ali redkeje kànonska baza) je v matematiki za evklidski prostor sestavljena iz enotskih vektorjev , ki imajo smer osi kartezičnega koordinatnega sistema .
Standardna baza je definirana kot skupina ortogonalnih enotskih vektorjev, ki tvorijo urejeno ortonormalno bazo . Ni pa vedno ortonormalna baza tudi standardna baza. Zgled: naslednja dva vektorja sta ortogonalna enotska vektorja:
e
1
=
(
3
2
,
1
2
)
,
{\displaystyle e_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\!\,,}
e
2
=
(
1
2
,
−
3
2
)
,
{\displaystyle e_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\!\,,}
vendar po definiciji ne tvorita standardne baze.
Standardna baza v trirazsežnem prostoru so vektorji :
e
x
=
(
1
,
0
,
0
)
,
e
y
=
(
0
,
1
,
0
)
,
e
z
=
(
0
,
0
,
1
)
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1)\!\,,}
kjer:
e
x
{\displaystyle \mathbf {e} _{x}\,}
x osi
e
y
{\displaystyle \mathbf {e} _{y}\,}
y osi
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{z}\,}
z osi Vektorji, ki sestavljajo bazo, se imenujejo bazni vektorji
Uporabljajo se še druge oznake kot so na primer:
{
e
1
,
e
2
,
e
3
}
{\displaystyle {\big \{}\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}{\big \}}\,}
{
i
→
,
j
→
,
k
→
}
{\displaystyle {\big \{}{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}{\big \}}\,}
{
i
^
,
j
^
,
k
^
,
}
{\displaystyle {\big \{}{\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}},{\big \}}\,}
i
→
=
e
→
1
=
(
1
0
0
)
,
j
→
=
e
→
2
=
(
0
1
0
)
,
k
→
=
e
→
3
=
(
0
0
1
)
.
{\displaystyle {\vec {i}}={\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {j}}={\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\vec {k}}={\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\!\,.}
Poljuben vektor se lahko prikaže kot linearno kombinacijo baznih vektorjev. Zgled: vektor
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}\,}
v
x
e
x
+
v
y
e
y
+
v
z
e
z
,
{\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z}\!\,,}
kjer so:
v
x
,
v
y
,
v
z
{\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}\,}
skalarne komponente vektorja
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}\,}
e
x
,
e
y
,
e
z
{\displaystyle e_{x},e_{y},e_{z}\,}
V n-razsežnem evklidskem prostoru je n standardnih baznih vektorjev:
{
e
i
:
1
≤
i
≤
n
}
,
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\}\!\,,}
kjer je:
n
{\displaystyle n\,}
e
i
{\displaystyle e_{i}\,}
i -ti koordinati in dolžino 0 na vseh drugih koordinatah. To se lahko zapiše kot:
e
1
=
(
1
,
0
,
0
,
…
,
0
)
,
e
2
=
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,
⋮
e
n
=
(
0
,
0
,
0
,
…
,
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}e_{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0),\\e_{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0),\\&\vdots &\\e_{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}}
