Legendrov simbol

Legendrov simból [ležándrov ~] je v teoriji števil simbol, ki se uporablja pri faktorizaciji in kvadratnih ostankih. Simbol je uvedel Adrien-Marie Legendre.

Definicija

Legendrov simbol je poseben primer Jacobijevega simbola. Odvisen je od tega ali za dve celi števili p in a velja:

• $a\equiv 0{\pmod {p}}$ (oziroma p deli a), ali
• $a\equiv x^{2}{\pmod {p}}$ (oziroma a je kvadrat mod p) ali
• $a\not \equiv x^{2}{\pmod {p}}$ (oziroma a ni kvadrat mod p).

Če je p liho praštevilo in a celo število je Legendrov simbol:

$\left({a \over p}\right)=\left\{{\begin{matrix}0;&p\vert a\\1;&\mathrm {za\ tak\ } k\ \mathrm {da\ velja\ } k^{2}\equiv a\ (\mathrm {mod\ } p)\\-1;&\mathrm {sicer} \end{matrix}}\right.\!\,.$

Simbol se označuje tudi kot:

$(a/p)\ \mathrm {ali\ } L(a,p)\!\,.$

Značilnosti Legendrovega simbola

Legendrov simbol ima več uporabnih značilnosti, ki pospešijo računanje:

1. $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ (je popolnoma multiplikativna funkcija za zgornji argument)
2. Če je a ≡ b (mod p), potem velja $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$
3. $\left({\frac {1}{p}}\right)=1$
4. $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}$, oziroma = 1, če je p ≡ 1 (mod 4) in = −1, če je p ≡ 3 (mod 4)
5. $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}$, oziroma = 1, če je p ≡ 1 ali 7 (mod 8) in = −1, če je p ≡ 3 ali 5 (mod 8)
6. Za liho praštevilo q velja $\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{((p-1)/2)((q-1)/2)}$

Zadnja značilnost je znana kot kvadratni recipročnostni zakon. Značilnosti 4 in 5 sta tradicionalno znani kot dodatka h kvadratni recipročnosti. Dokazati ju je moč z Gaussovo lemo.

Legendrov simbol je povezan z Eulerjevim kriterijem. Euler je dokazal, da velja:

$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}\!\,.$

Legendrov simbol je tudi Dirichletov karakter.

Sorodne funkcije

Jacobijev simbol je posplošitev Legendrovega simbola, ki dovoljuje sestavljena spodnja števila. S posplošitvijo je moč uspešno računati Legendrove simbole.

Druga posplošitev je Kroneckerjev simbol.