Eulerjeva domneva

Eulerjeva domneva je v matematiki napačna domneva, povezana s Fermatovim velikim izrekom, ki jo je leta 1769 postavil Leonhard Euler. Nobena od diofantskih enačb oblike:

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=y^{3}$

$x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=y^{4}$

$x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=y^{5}$

$\cdots$

$x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+...+x_{n-1}^{n}=\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}^{n}=y^{n}\!\,$

nima nobene trivialne rešitve za celi $n\geq 3\!\,$. Za $n=2\!\,$ veljajo vsote kot so na primer pitagorejske trojice:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=y^{2}\!\,.$

Za $n=3\!\,$ velja na primer:

$3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}\!\,,$

$1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}\!\,.$

$6^{3}\!\,$ ali $9^{3}\!\,$ pa ne da zapisati kot vsoto dveh (3-1) tretjih potenc.

Trditev sta s pomočjo računalnika ovrgla leta 1966 Leon J. Lander in Thomas R. Parkin s protiprimerom z $n=5\!\,$:

$27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}\!\,.$

Noam David Elkies je leta 1986 našel geometrijsko metodo za konstrukcijo neskončnega števila protiprimerov za primer $n=4\!\,$. Najmanjši protiprimer takšne homogene diofantske enačbe četrte stopnje za njegovo konstrukcijo je:

$2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}\!\,.$

Roger Frye iz podjetja Thinking Machines Corporation je dve leti kasneje 1988 našel najmanjši možni protiprimer za $n=4\!\,$ z neposrednim računalniškim iskanjem s konstrukcijo Elkiesovega tipa:

$95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}\!\,.$

Računalnik je enačbo računal 100 ur.

Protiprimeri za $n\geq 6\!\,$ niso znani.

Leta 1966 so Lander, Parkin in John L. Selfridge podali domnevo, da za vsak $vk>3v\!\,$, če velja:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}y_{j}^{k}\!\,,$

kjer $x_{i}\neq y_{j}\!\,$, potem $m+n\geq k\!\,$.

Glej tudi

• Eulerjeva enačba četrte stopnje (Jacobi-Maddnova enačba)