Diadni produkt

Diadni produkt (oznaka $\otimes \,$$\otimes \,$) je v multilinearni algebri tenzorski produkt dveh vektorjev, ki imata enako razsežnost. Rezultat je tenzor drugega reda in ranga 1. Imenuje se tudi tenzorski produkt vektorjev (zunanji produkt). Tako diadni produkt dveh vektorjev $u\,$$u\,$ in $v\,$$v\,$, ki imata enako razsežnost, zapišemo kot:

$\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$$\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$

Komponente

Če imamo izbrano bazo $\{\mathbf {e} _{i}\}$$\{\mathbf {e} _{i}\}$, so komponente $P_{ij}\,$$P_{ij}\,$ diadnega produkta $\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$$\mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$:

$\displaystyle P_{ij}=u_{i}v_{j}$$\displaystyle P_{ij}=u_{i}v_{j}$

kjer je:

• $\mathbf {u} =\sum _{i}u_{i}\mathbf {e} _{i}$$\mathbf {u} =\sum _{i}u_{i}\mathbf {e} _{i}$
• $\mathbf {v} =\sum _{j}v_{j}\mathbf {e} _{j}$$\mathbf {v} =\sum _{j}v_{j}\mathbf {e} _{j}$

ali:

$\mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$$\mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$ .

Matrični zapis

Diadni produkt lahko zapišemo tudi v matrični obliki. Vektor <mah> u \,</math> zapišemo kot stolpični vektor v obliki:

$\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}$$\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}$.

Vektor $v\,$$v\,$ pa je vrstični vektor $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}\,$$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}\,$. Kot produkt obeh vektorjev dobimo kvadratno matriko v obliki:

${\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}}\,$${\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}}\,$.

Iz tega vidimo, da je diadni produkt samo posebni primer Kroneckerjevega produkta.

Značilnosti

Za diadni produkt veljajo naslednje značilnosti:

• $(\alpha \mathbf {u} )\otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \otimes (\alpha \mathbf {v} )=\alpha (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\,$$(\alpha \mathbf {u} )\otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \otimes (\alpha \mathbf {v} )=\alpha (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\,$
• $\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \,$$\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \,$
• $(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} \,$$(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} \,$
• $(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =\mathbf {u} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\,$$(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =\mathbf {u} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\,$
• $\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} \,$$\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} \,$.

Glej tudi

• diadni tenzor
• tenzorski produkt
• Kroneckerjev produkt
• tenzorski produkt vektorjev (zunanji produkt)