Cevov izrek

Cevov izrèk [čéjvov ~] v ravninski geometriji pravi, da tri prečnice trikotnika, ki izhajajo iz njegovih oglišč in se sekajo v eni točki, odrežejo odseke stranic, katerih zmnožki so enaki, oziroma še drugače, daljice $AA'$, $BB'$ in $CC'$, ki povezujejo oglišča in nasprotne stranice, se sekajo v eni točki (so konkurentne), tedaj in le tedaj, če velja:

Cevov izrek, 1. primer: tri daljice tvorijo šop premic v točki znotraj trikotnika ABC

Cevov izrek, 2. primer: tri daljice tvorijo šop premic v točki O zunaj trikotnika ABC

${AC' \over C'B}{BA' \over A'C}{CB' \over B'A}=1\!\,.$

Izrek je dokazal italijanski matematik Giovanni Ceva in ga leta 1678 objavil v svojem delu De lineis rectis. Pred njim ga je dokazal saragoški kralj Al-Mu'taman ibn Hűd v 11. stoletju. Daljice $AA'$, $BB'$ in $CC'$ se imenujejo Cevove daljice.

Cevovemu izreku je enakovredna trigonometrična oblika: Cevove daljice tvorijo šop premic, če velja:

${\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle CAA'}}{\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle BCC'}}{\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle ABB'}}=1\!\,.$

Cevov trikotnik je trikotnik $A'B'C'$, Cevov krog pa poteka skozi njegova oglišča.

Posplošitve

Izrek se lahko posploši na večrazsežne simplekse s pomočjo baricentričnih koordinat. Cevov n-simpleks je šop iz vsakega oglišča v točko nasprotne n-1 strani (facete). Cevove premice tvorijo šop premic, če lahko maso porazdelimo v oglišča tako, da se vsaka Cevova premica seka z nasprotno faceto v njenem masnem središču. Presečišče Cevovih premic je masno središče simpleksa.

Za splošne mnogokotnike v ravnini je izrek znan že od začetka 19. stoletja. Izrek so posplošili tudi za trikotnike na drugih ploskvah s konstantno ukrivljenostjo.

Glej tudi

• Menelajev izrek
• projektivna geometrija