Ovojnica (matematika)

Konstrukcija ovojnice družine krivulj.

Ovojnica je v geometriji družina krivulj v ravnini tako, da je krivulja tangenta na vse člane družine v isti točki. Točko na ovojnici si lahko predstavljamo kot presečišče dveh sosednjih krivulj, kar je isto kot limita presekov bližnjih krivulj. To se lahko posploši na ploskve v prostoru in tudi na višje razsežnosti. Preprosto to povemo, da je ovojnica krivulje tangentna na vsak član družine krivulj (v ravnini) ali ploskev (v treh razsežnostih).

Ovojnica družine krivulj

Naj bo vaka krivulja C_t v družini dana z f_t(x, y)=0 kjer je t parameter. Zapišimo F(t, x, y)=f_t(x, y) in predpostavimo, da je F diferenciabilna.

Ovojnica družine C_t je definirana kot množica točk za katere je

$F(t, x, y) = {\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0$

za vrednost t

kjer je

• $\partial F/\partial t$ parcialni odvod funkcije F glede na t .

Kadar za t in u, ki sta dve vrednosti parametra, velja t≠u, potem je presečišče krivulj C_t in C_u dano z

$F(t, x, y) = F(u, x, y) = 0\,$

ali (kar je isto)

$F(t, x, y) = \frac{F(u, x, y)-F(t, x, y)}{u-t} = 0.$

Naj gre u→t in dobimo zgornjo definicijo.

Druge definicije

1. Ovojnica E₁ je limita presečišč sosednjih krivulj C_t
2. Ovojnica E₂ je krivulja, ki je tangentna na vse C_t
3. Ovojnica E₃ je meja področja, ki je zapolnjeno s krivuljami C_t.

Velja $E_1 \subseteq \mathcal{D}$, $E_2 \subseteq \mathcal{D}$ in $E_3 \subseteq \mathcal{D}.$

Ovojnica družine ploskev

Enoparametrična družina ploskev v trirazsežnem Evklidskem prostoru je dana z enačbo

$F(x,y,z,a)=0$

kjer je a realni parameter .

Dve ploskvi, ki pripadata dvema različnima vrednostima a in a' se sekata na skupni krivulji, ki je določena z

$F(x,y,z,a)=0,\,\,{F(x,y,z,a^\prime)-F(x,y,z,a)\over a^\prime -a}=0.$

Ko se a' približuje a, ta krivulja v točki a prehaja v krivuljo, ki je na ploskvi

$F(x,y,z,a)=0,\,\,{\partial F\over \partial a}(x,y,z,a)=0.$

Ta krivulja se imenuje karakteristika družine v a. Ko a spreminja geometrijsko mesto te karakteristične krivulje pri tem definira ploskev, ki jo imenujemo ovojnica družine ploskev.

Ovojnica družine ploskev je tangentna na vsako ploskev družine vzdolž karakteristične krivulje te ploskve.

Glej tudi

• premonosna ploskev

Zunanje povezave

• Ovojnica na MathWorld (v angleščini)
• Ovojnica v Encyclopedia of Mathematics (v angleščini)