Ovojnica (matematika)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Konstrukcija ovojnice družine krivulj.

Ovojnica je v geometriji družina krivulj v ravnini tako, da je krivulja tangenta na vse člane družine v isti točki. Točko na ovojnici si lahko predstavljamo kot presečišče dveh sosednjih krivulj, kar je isto kot limita presekov bližnjih krivulj. To se lahko posploši na ploskve v prostoru in tudi na višje razsežnosti. Preprosto to povemo, da je ovojnica krivulje tangentna na vsak član družine krivulj (v ravnini) ali ploskev (v treh razsežnostih).

Ovojnica družine krivulj[uredi | uredi kodo]

Naj bo vaka krivulja Ct v družini dana z ft(xy)=0 kjer je t parameter. Zapišimo F(txy)=ft(xy) in predpostavimo, da je F diferenciabilna.

Ovojnica družine Ct je definirana kot množica točk za katere je

F(t, x, y) = {\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0

za vrednost t

kjer je

Kadar za t in u, ki sta dve vrednosti parametra, velja tu, potem je presečišče krivulj Ct in Cu dano z

F(t, x, y) = F(u, x, y) = 0\,

ali (kar je isto)

F(t, x, y) = \frac{F(u, x, y)-F(t, x, y)}{u-t} = 0.

Naj gre u→t in dobimo zgornjo definicijo.

Druge definicije[uredi | uredi kodo]

  1. Ovojnica E1 je limita presečišč sosednjih krivulj Ct
  2. Ovojnica E2 je krivulja, ki je tangentna na vse Ct
  3. Ovojnica E3 je meja področja, ki je zapolnjeno s krivuljami Ct.

Velja E_1 \subseteq \mathcal{D}, E_2 \subseteq \mathcal{D} in E_3 \subseteq \mathcal{D}.


Ovojnica družine ploskev[uredi | uredi kodo]

Enoparametrična družina ploskev v trirazsežnem Evklidskem prostoru je dana z enačbo

F(x,y,z,a)=0

kjer je a realni parameter [2].

Dve ploskvi, ki pripadata dvema različnima vrednostima a in a' se sekata na skupni krivulji, ki je določena z

 F(x,y,z,a)=0,\,\,{F(x,y,z,a^\prime)-F(x,y,z,a)\over a^\prime -a}=0.

Ko se a' približuje a, ta krivulja v točki a prehaja v krivuljo, ki je na ploskvi

 F(x,y,z,a)=0,\,\,{\partial F\over \partial a}(x,y,z,a)=0.

Ta krivulja se imenuje karakteristika družine v a. Ko a spreminja geometrijsko mesto te karakteristične krivulje pri tem definira ploskev, ki jo imenujemo ovojnica družine ploskev.

Ovojnica družine ploskev je tangentna na vsako ploskev družine vzdolž karakteristične krivulje te ploskve.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0521429994 
  2. ^ Eisenhart, Luther P. (2008), A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Schwarz Press, ISBN 1443731609 

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]