Norma operatorja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Norma operatorja (oznaka  ||A||_{op} \, za operator  A \,) določa "velikost" linearnega operatorja (od tod tudi ime). To je norma, ki je definirana v prostoru omejenih linearnih operatorjev med dvema normiranima vektorskima prostoroma

Definicija[uredi | uredi kodo]

Če imamo dva normirana vektorska prostora  V \, in  W\, nad istim obsegom realnih ali kompleksnih števil, je preslikava  A: V \to W \, zvezna, če in samo, če velja

\|Av\| \le c \|v\| \quad \mbox{ za vse } v\in V

kjer je

Opomba: Norma na levi strani izhaja iz  W\,, norma na desni strani pa iz  V\,. Operator  A \, ne podaljšuje nobenega vektorja za  c \,. Slike omejene množice pod takšnim zveznim operatorjem so tudi omejene. Zaradi tega so zvezni linearni operatorji znani tudi kot omejeni operatorji. Za merjenje velikosti operatorja  A \,, je najboljše vzeti najmanjšo vrednost za  c \,, tako, da zgornja trditev še velja za vse  v \, v  V \,.

Normo lahko definiramo kot

\|A\|_{op} = \min\{c\ge 0 : \|Av\| \le c \|v\| \mbox{ za vse } v\in V\}.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Norma operatorja je norma prostora vseh omejenih operatorjev med  V \, in  W \,.

\|A\|_{op} \ge 0 \mbox{ in } \|A\|_{op} = 0 \mbox{ če in samo, če je } A = 0 \,
\|aA\|_{op} = |a| \|A\|_{op} \quad\mbox{ za vsak skalar } a ,
\|A + B\|_{op} \le \|A\|_{op} + \|B\|_{op} \,
\|Av\| \le \|A\|_{op} \|v\| \quad\mbox{ za vsak } v\in V \,

Norma operatorja je tudi združljiva s kompozitumom in množenjem operatorjev. Če so  V, W, X \, trije normirani prostori z isto bazo in sta  A: V \to W \, ter  B: W \to X \, dva omejena operatorja, potem velja tudi

\|BA\|_{op} \le \|B\|_{op} \|A\|_{op} .
\|BA\|_{op} \le \|B\|_{op} \|A\|_{op} ..

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]