Norma operatorja

Norma operatorja (oznaka $||A||_{op} \,$ za operator $A \,$) določa "velikost" linearnega operatorja (od tod tudi ime). To je norma, ki je definirana v prostoru omejenih linearnih operatorjev med dvema normiranima vektorskima prostoroma

Definicija

Če imamo dva normirana vektorska prostora $V \,$ in $W\,$ nad istim obsegom realnih ali kompleksnih števil, je preslikava $A: V \to W \,$ zvezna, če in samo, če velja

$\|Av\| \le c \|v\| \quad \mbox{ za vse } v\in V$

kjer je

• $c \,$ realno število
• $A \,$ operator

Opomba: Norma na levi strani izhaja iz $W\,$, norma na desni strani pa iz $V\,$. Operator $A \,$ ne podaljšuje nobenega vektorja za $c \,$. Slike omejene množice pod takšnim zveznim operatorjem so tudi omejene. Zaradi tega so zvezni linearni operatorji znani tudi kot omejeni operatorji. Za merjenje velikosti operatorja $A \,$, je najboljše vzeti najmanjšo vrednost za $c \,$, tako, da zgornja trditev še velja za vse $v \,$ v $V \,$.

Normo lahko definiramo kot

$\|A\|_{op} = \min\{c\ge 0 : \|Av\| \le c \|v\| \mbox{ za vse } v\in V\}$.

Lastnosti

Norma operatorja je norma prostora vseh omejenih operatorjev med $V \,$ in $W \,$.

$\|A\|_{op} \ge 0 \mbox{ in } \|A\|_{op} = 0 \mbox{ če in samo, če je } A = 0 \,$

$\|aA\|_{op} = |a| \|A\|_{op} \quad\mbox{ za vsak skalar } a ,$

$\|A + B\|_{op} \le \|A\|_{op} + \|B\|_{op} \,$

$\|Av\| \le \|A\|_{op} \|v\| \quad\mbox{ za vsak } v\in V \,$

Norma operatorja je tudi združljiva s kompozitumom in množenjem operatorjev. Če so $V, W, X \,$ trije normirani prostori z isto bazo in sta $A: V \to W \,$ ter $B: W \to X \,$ dva omejena operatorja, potem velja tudi

$\|BA\|_{op} \le \|B\|_{op} \|A\|_{op} .$

$\|BA\|_{op} \le \|B\|_{op} \|A\|_{op} .$.

Zunanje povezave

• Norma operatorja na MathWorld (v angleščini)
• Norma operatorja (v angleščini)
• Norma operatorja na WordiQ (v angleščini)