Norma operatorja

Norma operatorja (oznaka $||A||_{op}\,$ za operator $A\,$) določa "velikost" linearnega operatorja (od tod tudi ime). To je norma, ki je definirana v prostoru omejenih linearnih operatorjev med dvema normiranima vektorskima prostoroma

Definicija

Če imamo dva normirana vektorska prostora $V\,$ in $W\,$ nad istim obsegom realnih ali kompleksnih števil, je preslikava $A:V\to W\,$ zvezna, če in samo, če velja

$\|Av\|\leq c\|v\|\quad {\mbox{ za vse }}v\in V$

kjer je

• $c\,$ realno število
• $A\,$ operator

Opomba: Norma na levi strani izhaja iz $W\,$, norma na desni strani pa iz $V\,$. Operator $A\,$ ne podaljšuje nobenega vektorja za $c\,$. Slike omejene množice pod takšnim zveznim operatorjem so tudi omejene. Zaradi tega so zvezni linearni operatorji znani tudi kot omejeni operatorji. Za merjenje velikosti operatorja $A\,$, je najboljše vzeti najmanjšo vrednost za $c\,$, tako, da zgornja trditev še velja za vse $v\,$ v $V\,$.

Normo lahko definiramo kot

$\|A\|_{op}=\min\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ za vse }}v\in V\}$.

Lastnosti

Norma operatorja je norma prostora vseh omejenih operatorjev med $V\,$ in $W\,$.

$\|A\|_{op}\geq 0{\mbox{ in }}\|A\|_{op}=0{\mbox{ če in samo, če je }}A=0\,$

$\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}\quad {\mbox{ za vsak skalar }}a,$

$\|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}\,$

$\|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\quad {\mbox{ za vsak }}v\in V\,$

Norma operatorja je tudi združljiva s kompozitumom in množenjem operatorjev. Če so $V,W,X\,$ trije normirani prostori z isto bazo in sta $A:V\to W\,$ ter $B:W\to X\,$ dva omejena operatorja, potem velja tudi

$\|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}.$

$\|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}.$.

Zunanje povezave

• Norma operatorja na MathWorld (angleško)
• Norma operatorja Arhivirano 2010-05-28 na Wayback Machine. (angleško)
• Norma operatorja na WordiQ Arhivirano 2010-11-23 na Wayback Machine. (angleško)