Kovarianca

Kovarianca (oznaka $\operatorname{Cov(X,Y)} \,$, včasih tudi $\sigma_{XY} \,$) je merilo, s katerim določamo, kako sta dve naključni spremenljivki povezani. Poseben primer kovariance je varianca, ki pa opisuje spreminjanje dveh spremenljivk, ki sta identični.

Definicija

Kovarianca med dvema realnima slučajnima spremenljivkama $X \,$ in $Y \,$ s končnim drugim momentom, je določena kot

$\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{E}\big[(X - \operatorname{E}[X])(Y - \operatorname{E}[Y])\big],$

kjer je

• $E(X) \,$ pričakovana vrednost spremenljivke $X \,$.
• $X \,$ (z razsežnostjo $m \times 1 \,$) in $Y \,$ (z razsežnostjo $n \times 1 \,$) sta slučajni spremenljivki.

Zgornji obrazec lahko zapišemo tudi kot

$\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{E}\big[X Y\big] - \operatorname{E}[X]\cdot\operatorname{E}[Y].$

Slučajne spremenljivke, ki imajo kovarianco enako 0, so nekorelirane.

Merska enota za kovarianco je enaka zmnožku merske enote za prvo slučajno spremenljivko in merske enote za drugo slučajno spremenljivko. Korelacija pa je brezrazsežna

Lastnosti

• $\operatorname{Cov}(X, a) = 0 \,$
• $\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)\,$
• $\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,$
• $\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,$
• $\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,$
• $\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,$

kjer so (velja za vse lastnosti)

• $X, Y, W, V \,$ realne slučajne spremenljivke
• $a, b, c, d \,$ so konstante (niso slučajne spremenljivke)
• $\operatorname{Var(X)} \,$ varianca

Za zaporedje $X_1, \dots, X_n \,$ in $Y_1, \dots, Y_n \,$ velja

$\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^n {X_i}, \sum_{j=1}^m{Y_j}\right) = \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^m{\operatorname{Cov}\left(X_i, Y_j\right)}}.\,$.

Velja pa tudi

$\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{i,j\,:\,i<j} a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).$

kjer so

• $a_1, \dots a_n \,$ konstante.

Kadar sta $X \,$ in $Y \,$ neodvisna, je njuna kovarianca enaka nič. Zaradi tega velja

$\operatorname{E}(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y).$.

Velja tudi Cauchy-Schwarzova neenakost:

$|\operatorname{Cov}(X,Y)| \le \sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}$.

Glej tudi

• varianca
• korelacija
• kovariančna analiza

Zunanje povezave

• Kovarianca e-študij (v slovenščini)
• Osnove analize kovariance (v slovenščini)
• Kratko in intuitivno o verjetnostnem računu (v slovenščini)
• Povezanost med pojavi (v slovenščini)
• Kovarianca na MathWorld (v angleščini)