Kongruenca

Za kongruenco v geometriji glej: Skladnost

Kongruénca oziroma kongruénčna relácija je ekvivalenčna relacija.

Celi števili a in b sta kongruentni po modulu m (m je naravno število), če in samo če m deli razliko števil a in b.

Definicija

$a,b\in \mathbb{Z}$, $m\in{N}$, $a\equiv b\mod(m)\Leftrightarrow m|a-b$

Primer: $7\equiv 2 \mod(5)$

Lastnosti kongruenc

Kongruenca je ekvivalenčna relacija, velja namreč:

$a\equiv a \mod(m)$ - refleksivnost

$a\equiv b\mod(m)\Longrightarrow b\equiv a \mod(m)$ - simetričnost

$a\equiv b \mod(m)\and b\equiv c \mod(m)\Longrightarrow a\equiv c\mod(m)$ - tranzitivnost

Pravila pri računanju s kongruencami

Iz definicije sledi da lahko kongruentna števila ali člene vedno zamenjujemo med seboj.

Naj za vse primere velja:

$a\equiv b\mod(m) \and c\equiv d\mod(m)$

Seštevanje kongruenc

$a+c\equiv b+d\mod(m)$

$a\equiv b\mod(m) \and c\equiv d\mod(m)\Longrightarrow a-b=km, c-d=lm$

Zgoraj pridobljeni enačbi seštejemo:

$a-b+c-d=km+lm=m(l+k)\Longrightarrow a-b+c-d\equiv 0\mod(m)\Longrightarrow a+c\equiv b+d\mod(m)$

Množenje kongruenc

$a\cdot c\equiv b\cdot d\mod(m)$

$ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)-d(a-b)=alm - dkm=m(al-dk)\Longrightarrow$

$ac-bd\equiv 0\mod(m) \Longrightarrow ac\equiv cd\mod(m)$

Množenje kongruenc s celim številom

$az\equiv bz\mod(m), z\in\mathbb{Z}$

$a-b=km |\cdot z$

$az-bz=kmz\Longrightarrow az-bz\equiv 0\mod(m)\Longrightarrow az\equiv bz\mod(m)$

Potenciranje kongruenc

$a\equiv b\mod(m)\Longrightarrow a^n\equiv b^n\mod(m), n\in\mathbb{N}_0$

Ta izrek je le posebni primer izreka o množenju kongruenc. Torej n-krat pomnožimo kongruenco samo s sabo in izrek je dokazan. Je pa ta izrek kot boste videli v nadaljevanju zelo pomemben.

Uporaba kongruenc

Kongruence so uporabne predvsem v nalogah, kjer nastopajo števila prevelika za računanje z njimi brez računalnika. Tipične naloge, ki se jih navadno lotimo s kongruencami so:

• dokazovanje ali spodbijanje deljivosti
• ugotavljanje zadnje števke
• ugotavljenje ostanka pri deljenju z nekim številom
• uporaba v diofantskih enačbah

Primer naloge

• S katero števko se konča $3^{2005}$?

Ker iščemo zadnjo števko, gledamo število po modulu m=10. Velja seveda:

$3 \equiv 3 \mod(m)$

ali

$3^1\equiv 3\mod(m)$

in

$3^2\equiv 9\mod(m)$

$3^3\equiv 7\mod(m)$

$3^4\equiv 1\mod(m)$

Ker je 2005 = 4 * 501 + 1, velja

$3^{4 \cdot 501}\equiv 1\mod(m)$

ali

$3^{2004}\equiv 1\mod(m)$

pomnožimo obe strani s tri in to je rezultat

$3^{2005}\equiv 3\mod(m)$.

Zunanje povezave

• http://www2.arnes.si/~mmlaka10/Clanki/clanki.htm