Haynes - Shockleyev eksperiment

V Haynes - Shockleyev eksperimentu v polprevodnik (recimo tipa n) vbrizgamo vrzeli, lahko s sunkom napetosti ali pa z laserskim pulzom. V našem primeru na polprevodnik na razdalji d priključimo elektrodi, na eni vbrizgamo vrzeli, z drugo pa opazujemo signal. Zanimajo nas gibljivost nosilcev električnega naboja, difuzijska konstanta in relaksacijski čas v polprevodniku, ki jih s tem poskusom lahko določimo. Problem bomo obravnavali v eni dimenziji.

Najprej si pogledamo enačbe za tok vrzeli in elektronov:

$j_{e}=-\mu _{n}nE-D_{n}{\frac {\partial n}{\partial x}}$

$j_{p}=-\mu _{p}pE-D_{n}{\frac {\partial p}{\partial x}}$

kjer je $\mu =e\beta D$ gibljivost, velja $v=\mu E$.

Velja tudi kontinuitetna enačba:

${\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {-(n-n_{0})}{\tau _{n}}}-{\frac {\partial j_{e}}{\partial x}}$

${\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {-(p-p_{0})}{\tau _{p}}}-{\frac {\partial j_{p}}{\partial x}}$

Upoštevamo, da se elektroni in vrzeli rekombinirajo z relaksacijskim čason $\tau$.

Definiramo $p_{1}=p-p_{0}$ in $n_{1}=n-n_{0}$ in sestavimo zgornje enačbe v:

${\frac {\partial p_{1}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p}}}$

${\frac {\partial n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{n}}}$

Upoštevali smo, da sta $p_{0}$ in $n_{0}$ konstantna, zato odpadeta pri odvodu.

Poglejmo si člen, v katerem nastopa gradient električnega polja. Laplaceova enačba nam pove:

$\rho =-\epsilon \epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=\epsilon \epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial x}}$

${\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_{0})-(n-n_{0}))}{\epsilon \epsilon _{0}}}$

Zdaj uvedemo $n_{2}=p_{1}+n_{1}$ in $n_{3}=p_{1}-n_{1}<<n_{2}$. Gibalni enačbi lahko zapišem z uporabo novih spremenljivk:

${\frac {\partial n_{2}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{2}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{2}}{\partial x}}-{\frac {n_{2}}{\tau _{p}}}$

${\frac {\partial n_{2}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{2}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{2}}{\partial x}}-{\frac {n_{2}}{\tau _{n}}}$

Vidimo, da sta zgornji enačbi sklopljeni, saj v njiju nastopajo enake količine, razlikujejo pa se konstante. Zdaj ju bomo združili v eno enačbo:

${\frac {\partial n_{2}}{\partial t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{2}}{\partial x^{2}}}+\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{2}}{\partial x}}-{\frac {n_{2}}{\tau ^{*}}},$

kjer so $D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(p+n)}{pD_{p}+nD_{n}}}$, $\mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\mu _{p}(p-n)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}$ in ${\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n}}{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}.$

Če predpostavimo, da je n>>p oziroma $p\rightarrow 0$ (kar je seveda res v polprevodniku, v katerega smo vbrizgali samo nekaj vrzeli, ostalo so pa elektroni), vidimo, da $D^{*}\rightarrow D_{p}$, $\mu ^{*}\rightarrow \mu _{p}$ in ${\frac {1}{\tau ^{*}}}\rightarrow {\frac {1}{\tau _{p}}}$. Vidimo, da se vrzeli takoj zasenčijo z elektroni, torej se polprevodnik obnaša, kot da po njem potuje samo oblak vrzeli.

Enačbo za gibljivost zdaj lahko rešimo in dobimo zvezo:

$n_{2}(x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {(x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}$

To lahko interpretiramo takole: ob začetnem sunku napetosti ali laserskem pulzu se ustvarijo vrzeli v obliki delta funkcije. Vrzeli potem začnejo potovati proti elektrodi, kjer jih zaznamo. Signal na drugi elektrodi ima torej obliko Gaussove krivulje.

Parametre $\mu ,D$ in $\tau$ določimo iz oblike krivulje in količin $t_{0}$, ki je čas, ki ga vrh sunka porabi do druge elektrode in $\delta t$, ki je širina sunka ob času $t_{0}$.

$\mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}$

$D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16t_{0}}}$

Viri

• Wang:Solid State Electronics