Kontinuitetna enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kontinuitétna enáčba je parcialna diferencialna enačba, ki povezuje prvi odvod količine z značajem gostote po času z divergenco oziroma prvim odvodom količine z značajem toka po kraju. Ker se masa, energija, gibalna količina, električni naboj in druge naravne količine pri posameznih ustreznih stanjih ohranjajo, lahko s kontinuitetno enačbo opišemo različne fizikalne pojave. Različne kontinuitne enačbe so v diferencialni obliki zapisani ohranitveni zakoni in so njihova strožja, krajevna oblika.

Velja na primer, da »se celotna energija v Vesolju ohranja«. Ta izjava takoj ne izključuje možnost, da lahko energija z Zemlje izginja in istočasno nastaja v drugi galaksiji. Strožja izjava je, da se energija ohranja krajevno: energija ne more nastati ali se izničiti, ne more se »prenesti« z enega mesta na drugo mesto - lahko se le giblje s stalnim tokom. Kontinuitetna enačba je matematični način izrazitve in zapisa takšne vrste izjave.

Tok snovi[uredi | uredi kodo]

Iz zakona o ohranitvi mase lahko izpeljemo kontinuitetno enačbo za gostoto:

 \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = - \frac{\partial\rho}{\partial t} \!\, .

V stacionarnem stanju se gostota s časom ne spreminja: \mathrm{d}\rho/\mathrm{d}t = 0\, . Odtod sledi, da mora biti pritekajoči tok enak odtekajočemu, oziroma:

 \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0 \!\, .

Če je tekočina nestisljiva, kar pomeni, da v toku ni velikih tlačnih razlik, lahko približno vzamemo, da se gostota tudi s krajem ne spreminja: ρ = konst. Odtod vidimo, da ima kontinuitetna enačba za stacionarni tok nestisljivih tekočin posebej preprosto obliko:

 \nabla\cdot\mathbf{v} = 0 \!\, .

Difuzija[uredi | uredi kodo]

Pri difuziji v binarni zmesi spremljajmo sestavino, označeno z indeksom 1. Delno gostoto ρ1 te sestavine povezuje z delnim masnim tokom j1 kontinuitetna enačba:

 \nabla\cdot\mathbf{j}_1 = - \frac{\partial\rho_1}{\partial t} \!\, .

Enačba velja, če med sestavinama ni kemijskih reakcij.

Električni naboj[uredi | uredi kodo]

Zaradi zakona o ohranitvi naboja je skupni električni tok, ki odteče z danega telesa v okolico, enak negativnemu časovnemu odvodu preostalega naboja:

 \int \mathbf{j}_e \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = - \frac{\partial e}{\partial t} \!\, .

V diferencialni obliki, preračunano na enoto prostornine:

 \nabla\cdot\mathbf{j}_e = - \frac{\partial\rho_e}{\partial t} \!\, .

Kontinuitetno enačbo za električni naboj lahko izpeljemo tudi iz Maxwellovih enačb, natančneje iz Amperovega zakona in zakona o magnetnem pretoku.

Energija[uredi | uredi kodo]

Toplejše telo oddaja energijo okolici s prevajanjem toplote. Zaradi zakona o ohranitvi energije velja:

 \int \mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = - \frac{\partial W}{\partial t} \!\, .

Pri tem je j gostota energijskega toka, W pa notranja energija telesa.

Viri[uredi | uredi kodo]