Ekviparticijski izrek

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ekviparticíjski izrèk ali izrèk o enakomérni razdelítvi (energíje) v klasični statistični mehaniki trdi, da v povprečju odpade na vsako prostostno stopnjo, torej na vsak kvadratni člen v izrazu za polno energijo atoma ali molekule energija kBT/2, pri čemer je kB Boltzmannova konstanta, T pa absolutna temperatura.

Izpeljava ekviparticijskega izreka[uredi | uredi kodo]

Naj bo polna energija sistema E določena z f posplošenimi koordinatami qk in f posplošenimi gibalnimi količinami pk,

E = E(q_1, \ldots, q_f, p_1, \ldots, p_f)

Nadalje naj velja:

1. Energijo lahko zapišemo kot vsoto dveh členov, od katerih je prvi (εi) odvisen le od ene posplošene gibalne količine pi, preostanek E' pa od te posplošene gibalne količine ni odvisen:

E = \epsilon_i(p_i) + E'(q_1, \ldots, p_f)

2. V funkciji εi nastopa posplošena gibalna količina pi v kvadratu:

\epsilon_i(p_i) = b p_i^2

Pri tem je b konstanta.

Opisana pogoja sta dobro izpolnjena, če je pi gibalna količina - v kinetični energiji nastopa gibalna količina v kvadratu, potencialna energija pa od nje ni odvisna.

Vprašamo se po povprečni vrednosti spremenljivke εi v toplotnem ravnovesju ob izpolnjenih obeh zgoraj navedenih pogojih. Za sistem v toplotnem ravnovesju velja Boltzmannova porazdelitev; skladno s tem izračunamo povprečno vrednost spremenljivke εi z integriranjem po celotnem faznem prostoru:

 \overline{\epsilon_i} = \frac{\int \exp[-\beta E(q_1, \ldots, p_f)] \epsilon_i dq_1\cdots dp_f}{\int \exp[-\beta E(q_1, \ldots, p_f)] dq_1\cdots dp_f}

Pri tem smo označili β = 1/kBT.

Skladno s prvim pogojem lahko uporabimo multiplikativnost eksponentne funkcije in integrala v števcu in imenovalcu zapišemo kot produkt dveh integralov:

 \overline{\epsilon_i} = \frac{\int\exp(-\beta\epsilon_i)\epsilon_i dp_i \int' \exp[-\beta E(q_1, \ldots, p_f)] \epsilon_i dq_1\cdots dp_f}{\int\exp(-\beta\epsilon_i)dp_i \int' \exp[-\beta E(q_1, \ldots, p_f)] dq_1\cdots dp_f}

S črtico je označeno integriranje po vseh spremenljivkah razen pi. Ta integrala sta v števcu in imenovalcu enaka in ju lahko pokrajšamo:

 \overline{\epsilon_i} = \frac{\int\exp(-\beta\epsilon_i)\epsilon_i dp_i}{\int\exp(-\beta\epsilon_i)dp_i}

Z upoštevanjem zveze

\int\exp(-\beta\epsilon_i)\epsilon_i dp_i = -\frac{d}{d\beta}\ln \left[ \int\exp(-\beta\epsilon_i) dp_i \right]

lahko izraz za povprečje εi zapišemo kot

\overline{\epsilon_i} = -\frac{d}{d\beta}\ln \left[ \int\exp(-\beta\epsilon_i) dp_i \right]

Skladno z drugo zahtevo pa lahko zapišemo:

\int\exp(-\beta\epsilon_i) dp_i = \int\exp(-\beta b p_i^2) dp_i = \frac{1}{\sqrt{\beta}} \int\exp(-b y^2) dy

Pri tem smo označili y = pi √β. Odtod nadalje:

\ln \int\exp(-\beta\epsilon_i) dp_i = -\frac{1}{2}\ln\beta + \ln \int\exp(-b y^2) dy

Drugi člen na desni strani sploh ni odvisen od β, zato v izrazu za povprečno energijo εi ob odvajanju po β odpade. Ostane:

 \overline{\epsilon_i} = -\frac{\partial}{\partial\beta}\left( - \frac{1}{2} \ln\beta \right) = \frac{1}{2\beta}

Pokazali smo, da ustreza kvadratnemu členu v polni energiji povprečna energija kBT/2. Če nastopajo v polni energiji samo kvadratni členi, torej odpade na vsakega od njih v povprečju enak delež energije - odtod ime izreka.

Na začetku izpeljave smo privzeli, da lahko energijo zapišemo kot vsoto dveh členov, od katerih je eden kvadratna funkcija izbrane posplošene gibalne količine pi, preostanek pa od nje ni odvisen. Izpeljava bi tekla podobno, če bi podobno izvzeli eno posplošeno koordinato qi in privzeli, da lahko energijo pišemo v obliki E = \epsilon_i(q_i) + E'(q_1, ... p_f).

Literatura[uredi | uredi kodo]

  • Sergej Pahor, Uvod v ravnovesno statistično fiziko, Društvo matematikov, fizikov in astronomov, Ljubljana 2001. (COBISS)