Uporabnik:Vitosmo/Difke kar tako

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Obstoj rešitve[uredi | uredi kodo]

Reševanje diferencialne enačbe se od reševanja algebrskih enačb razlikuje. Ne samo da so njihove rešitve velikokrat nerazumljive, pomembno je tudi po možnosti ugotoviti, ali rešitve sploh obstajajo, in če obstajajo, ali so enolične.

For first order initial value problems, the Peano existence theorem gives one set of circumstances in which a solution exists. Given any point in the xy-plane, define some rectangular region , such that and is in the interior of . If we are given a differential equation and the condition that when , then there is locally a solution to this problem if and are both continuous on . This solution exists on some interval with its center at . The solution may not be unique. (See Ordinary differential equation for other results.)

To nam pa pomaga samo pri začetnih vrednosti enačb prvega reda. Recimo, da gre za problem začetnih vrednosti za naslednjo linearno enačbo n-tega reda:

kjer velja:

Za vse neničelne , če so  in zvezni na določenem intervalu, ki vsebuje , obstaja in je enoličen.[1]

Povezava z diferenčnimi enačbami[uredi | uredi kodo]

Teorija diferencialnih enačb je tesno povezana s teorijo diferenčnih enačb, v katerih koordinate zavzemajo samo diskretne vrednosti in  kjer gre za določanje vrednosti neznane funkcije ali funkcij in vrednosti v sosednjih koordinatah.  Številne metode za numerično reševanje diferencialnih enačb ali za preverjanje njih lastnosti temeljijo na rešitvah enakovredne diferenčne enačbe. Diferenčne enačbe so temelj vseh računalniško dobljenih rešitev.

Aplikacije[uredi | uredi kodo]

Študija diferencialnih enačb je obsežno polje v čisti in uporabni matematiki, fiziki in strojništvu. Vse te discipline se ukvarjajo z lastnosti diferencialne enačbe različnih vrst. Čista matematika se osredotoča na obstoj in enkratnost rešitve, medtem ko uporabna matematika poudarja strogo utemeljitev metod za približujoče se rešitve. Diferencialne enačbe igrajo pomembno vlogo pri modeliranju skoraj vseh fizičnih, tehničnih ali biološki procesov, od gibanja nebesnih teles do načrtovanja mostov in interakcije med nevroni. Diferencialne enačbe, ki se uporabljajo za reševanje konkretnih problemov, niso nujno neposredno rešljive, tj. lahko da nimajo rešitve v zaključeni obliki. Namesto tega lahko pridemo do približnih rešitev s pomočjo numeričnih metod.

Veliko temeljnih zakonov fizike in kemije je mogoče zapisati v obliki diferencialne enačbe. V biologiji in ekonomiji , se diferencialne enačbe uporabljajo pri modeliranju vedenja kompleksnih sistemov. Matematično ozadje diferencialnih enačb se je sprva odkrivalo v okviru ved, kjer so se problemi definirali v obliki diferencialnih enačb in kjer so rešitve našle neposredno uporabo. Vendar pa lahko različni problemi, včasih s poreklom iz precej različnih znanstvenih področij, pripeljejo do identičnih diferencialnih enačb. V teh primerih je mogoče matematično teorijo teh enačb razumeti kot poenotenje na eno in isto načelo, ki tvori ozadje včasih zelo različnim pojavom. Vzemimo za primer širjenje svetlobe skozi vakuum, širjenje zvoka skozi ozračje, in širjenje valov na površini ribnika. Vse tri pojave lahko opišemo z valovno enačbo (partialno diferencialno enačbo drugega reda), kar nam omogoča, da v svetlobi in zvoku vidimo iste poteze valov, kot jih poznamo od valov na vodni površini. Teorijo prevajanja toplote, ki so je razvil Joseph Fourier, opisuje parcialna diferencialna enačba drugega reda, tako imenovana toplotna enačba. Izkazalo se je, da številne  difuzijske procese, ki so na videz zelo različni različni, opisuje ista enačba; Black–Scholesa enačbo na primer, ki določa ceno delniških opcij, je mogoče pretvoriti v toplotno enačbo, oziroma rešitve toplotne enačbe je mogoče interpretirati s stališča cen opcij.

Fizika[uredi | uredi kodo]

Klasična mehanika[uredi | uredi kodo]

Dokler je sila, ki deluje na delec, znana, Newtonov drugi zakon za opis gibanja delca zadostuje. Ko so enkrat na voljo za vsako silo, ki deluje na delec, na voljo neodvisni opisi, jih je mogoče nadomestiti v Newtonovem drugem zakonu, pri čemer se problem poenostavi na običajno diferencialno enačbo, ki se imenuje enačbe gibanja.

Elektrodinamika[uredi | uredi kodo]

Maxwellove enačbe so niz delnih diferencialnih enačb , ki skupaj z zakonom Lorentzove sile tvorijo temelj klasične elektrodinamike, klasične optike, in električnih vezij. Ta področja so po drugi strani temelj sodobnih električnih in komunikacijskih tehnologij. Maxwellove enačbe opisujejo, kako električna in magnetna polja nastajajo in kako se spreminjajo pod vplivom nabojev in tokov.James Clerk Maxwell, škotski fizik in matematik. katerega ime nosijo, je med 1861 in 1862 objavil zgodnjo obliko teh enačb.

Splošna relativnost[uredi | uredi kodo]

Einsteinove poljske enačbe (EFE, znane tudi skrajšano kot "Einsteinove enačbe") so niz desetih delnih diferencialnih enačb, v splošni teoriji relativnosti Alberta Einsteina. Opisujejo temeljno interakcijo z gravitacijo zaradi prostor-časa, ki ga snov in energija ukrivljata.[2] Einstein jo je prvič objavil leta 1915[3] kot tenzorsko enačbo, EFE izenačujejo lokalno ukrivljenost prostor-časa (izraženega z Einsteinovim tenzorjem) z lokalno energijo in gibalno količino v tem prostor-času.[4]

Kvantna mehanika[uredi | uredi kodo]

V kvantni mehaniki je analogon Newtonovemu zakonu Schrödingerjeva enačba (parcialna diferencialna enačba) za kvantni sistem (običajno atomie, molekule in osnovne delce najsi bodo prosti, vezani ali lokalizirani). Ne gre za preprosto algebrsko enačbo, temveč na splošno za linearno parcialno diferencialno enačbo, ki opisuje, kas se dogaja v času  z valovno funkcijo sistema.[5]

Biologija[uredi | uredi kodo]

  • Verhulstove enačbe – rast biološke populacije
  • von Bertalanffyjev model – rast biološkega posameznika
  • Replikatorska dinamika – mesto v teoretični biologiji
  • Hodgkin–Huxleyjev model – aktivacijski potenciali živcev

Enačbi roparica-plen[uredi | uredi kodo]

 Lotka–Volterra enačbi, znan tudi kot enačbi roparica-plen, sta par nelinearnih diferencialne enačbe, ki se pogosto uporabljata za opis dinamike bioloških sistemov, z dvema vrstama  interakcije, ki opisujeta odnos me t.i. predatorjem in njegovo žrtvijo, na primer med lisicami na samotnem otoku na eni strani in zajci na drugi strani, ali pa (primer iz ekonomije) med variacijami v renditi in ponudbi podjetij.

Kemija[uredi | uredi kodo]

Enačba za kemijske reakcije je diferencialna enačba, ki povezuje hitrost reakcije s koncentracijami ali tlaki reaktantov in konstantami (običajno so to reakcijski koeficienti in redi delne reakcije).[6] Vrsto enačbe za določen sistem se določi tako, da se hitrost reakcije kombinira z masno bilanco sistema.[7]

Ekonomija[uredi | uredi kodo]

  • Ključna enačba modela Solova in Swana je
  • Black–Scholes model za tržno ceno opcij
  • Malthusov model rastii
  • Vidale–Wolfeov model oglaševanja

References[uredi | uredi kodo]

  1. Zill, Dennis G. A First Course in Differential Equations (5th izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.
  2. Einstein, Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity" (PDF). Annalen der Physik. Vol. 354 no. 7. str. 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702.
  3. Einstein, Albert (November 25, 1915). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. str. 844–847. Pridobljeno dne 2006-09-12.
  4. Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.
  5. Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, str. 1–2, ISBN 0-13-111892-7
  6. IUPAC Gold Book definition of rate law.
  7. Kenneth A. Connors Chemical Kinetics, the study of reaction rates in solution, 1991, VCH Publishers.