Ogled vira Razsežnostna analiza

'''Razsežnostna analiza''' (tudi '''dimenzijska analiza''') je orodje s katerim se v [[fizika|fiziki]], [[kemija|kemiji]], [[tehnika|tehniki]] in delno v [[ekonomija|ekonomiji]] pomaga razumeti značilnosti in obliko [[fizikalna količina|fizikalnih količin]]. S pomočjo razsežnostne analize se število spremenljivk zmanjša na manjše število parametrov, ki nastopajo v enačbi, in s tem se poenostavi problem.

Velikost vsake fizikalne količine se lahko opiše kot kombinacija osnovnih [[merska enota|merskih enot]], ki določajo [[dolžina|dolžino]], [[masa|maso]], [[čas]], [[električni naboj]] in [[temperatura|temperaturo]], ki se imenujejo [[razsežnost]]i (prava razsežnost pripada samo dolžini - prostoru in času). Razsežnosti osnovnih merskih enot se označujejo z '''M''', '''L''', '''T''', '''Q''' in '''Θ'''. Tako se npr. za [[hitrost]], ki se jo lahko [[meritev|meri]] v metrih na sekundo ali kilometrih na uro, napiše, da ima hitrost razsežnost '''L'''/'''T''' ali '''LT'''<sup> -1</sup>. Podobno se lahko razsežnost [[sila|sile]] napiše kot '''ML'''/'''T'''<sup> 2</sup>. 

Običajno je pojem razsežnosti mnogo težje razumljiv, kot pojem merske enote. Masa je razsežnost, [[kilogram]] pa je merska enota z razsežnostjo [[masa|mase]] (oznaka '''M''').

== Osnovne razsežnosti v fizikalnih količinah ==
V fizikalnih količinah se uporabljajo naslednje osnovne razsežnosti:
{| class="wikitable"
! količina
! oznaka </br>razsežnosti
|-
| [[dolžina]]||<math>L \,</math>
|-
|[[masa]]||<math>M \,</math>
|-
|[[čas]]||<math>T \,</math>
|-
|[[električni naboj]]||<math>Q \,</math>
|-
|[[temperatura]]||<math> \Theta \,</math>
|-
|[[množina snovi]]||<math> mol \,</math>
|-
|[[svetilnost]]|| <math> cd \,</math>
|}

== Nekatere fizikalne količine iz mehanike in njihove razsežnosti ==

{| class="prettytable" 
|-----
! fizikalna količina|| oznaka||enota|| izraz za razsežnost
|-----
|[[masa]]|| <math>m \,</math>||kg|| <math>M</math>
|-----
|[[dolžina]]	|| <math>l \,</math>, <math>b \,</math>, <math>h \,</math>|| 	m	|| <math> L </math>
|-----
|[[čas]]	|| <math>t \,</math>	|| s || <math>T</math>
|-----
|[[frekvenca]]	|| <math> \nu \,</math>	|| Hz ( =1/s)	|| <math> T^{-1} </math>
|-----
|[[kotna hitrost]]	|| <math> \omega \,</math>	|| 1/s	|| <math> T^{-1} </math>
|-----
|[[hitrost]]	|| <math>v \,</math>	|| m/s	|| <math> L \cdot T^{-1} </math>
|-----
|[[pospešek]]	|| <math>a \,</math>	|| m/s²	|| <math>L \cdot T^{-2}</math>
|-----
|[[gibalna količina]] || <math>p \,</math> || m · kg/s || <math> M \cdot L \cdot T^{-1}</math>
|-----
|[[gostota]]	|| <math>\rho \,</math>	|| kg/m³	|| <math> M \cdot L^{-3} </math>
|-----
|[[sila]]	|| <math>F \,</math>	|| N ( = kg · m/s²)	|| <math> M \cdot L \cdot T^{-2} </math>
|-----
|[[specifična teža]]	|| <math>\sigma \,</math>	|| N/m³	|| <math> M \cdot L^{-2} \cdot T^{-2} </math>
|-----
|[[tlak]], [[nateg]]	|| <math>p \,</math> || N/m²	|| <math> M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2} </math>
|-----
|[[prožnostni modul|modul elastičnosti]]	|| <math>E \,</math>	|| N/m²	|| <math> M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2} </math>
|-----
|[[energija]]	|| <math>W \,</math>	|| J ( = m² · kg/s²)	|| <math> M \cdot L^{2} \cdot T^{-2} </math>
|-----
|[[moč]]	|| <math>P \,</math>	|| W ( = m² · kg/s³)	|| <math> M \cdot L^{2} \cdot T^{-3} </math>
|-----
|[[viskoznost|dinamična viskoznost]]	|| <math>\eta \,</math>	|| N · s/m²	||<math> M \cdot L^{-1} \cdot T^{-1} </math>
|-----
|[[kinematična viskoznost]]	|| <math>\nu \,</math>	|| m²/s	|| <math> L^{2} \cdot T^{-1} </math>
|-----
|}

== Izvedba razsežnostne analize ==

Razsežnostna analiza se izvaja na osnovi [[Buckinghamov izrek π|Buckinghamovega izreka π]].

Analiza se izvaja v več korakih.
* 1. korak
Določitev odvisnih spremenljiv. Predpostavi se, da je neodvisna spremenljivka <math> N \,</math> odvisna od <math>n \,</math> spremenljivk, ki se jih označi s <math>q \,</math>.

: <math> N = f(q_1, \ldots, q_n) \,</math>.

Določi se tudi število razsežnosti, ki so potrebne za spremenljivko <math> N \,</math>. To število se označi z <math> m \,</math>. Za vsako spremenljivko se lahko določi tudi njeno razsežnost. Zgornji izraz se lahko napiše tudi kot:

: <math>  f(q_1, \ldots, q_n) - N = 0\,</math>

To se lahko v skladu s Buckinhamovim izrekom π zapiše kot:

: <math>f(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_{n-m}) \!\, , </math>

kjer so
* <math> \pi_i \,</math> [[brezrazsežna količina|brezrazsežne količine]]

To pomeni, da je:
: <math> \pi_1 = q_1^{m_1}q_2^{m_2} \ldots \,</math>
: <math> \pi_2 = q_1^{m_1}q_2^{m_2} \ldots \,</math>
: ….
kjer so <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> … [[racionalno število|racionalna števila]].

Skupaj je <math>n-m \,</math> enačb.

* 2. korak
Na levi strani enačb so brezrazsežne količine (posamezni <math> \pi \,</math>). To pomeni, da imajo vse razsežnosti [[potenciranje|stopnjo potence]] ˙(eksponent) enako 0.

* 3. korak
Zamenjajo se vse količine, ki nastopajo v enačbah za <math> \pi \,</math> z njihovimi izrazi za razsežnosti (uporabijo se izrazi za razsežnosti iz tabele). Potence razsežnosti na levi in desni strani morajo biti enake. 

* 4. korak
Tako se dobi sistem enačb, ki ga je treba rešiti. Z rešitvijo enačb se v resnici dobijo vrednosti za <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> itd. Te vrednosti pa so potence posameznih razsežnosti in s tem tudi potence posameznih spremenljivk <math> q_n \,</math> v analiziranem izrazu za fizikalno količino.

== Zgled ==

Kot zgled naj se vzame [[nihalo]] brez trenja ([[matematično nihalo]]), ki niha od ravnotežne lege za manj kot 5[[kotna stopinja|°]]. Dolžina nihala je enaka <math>l \,</math>, [[masa]] nihala je enaka <math> m \,</math>, [[težni pospešek]] se označi z <math>g \,</math>

Za matematično [[nihalo]] velja:

:<math>f(T,M,L,g) = 0 \!\, . </math>

V tem primeru je m = 4 (število spremenljivk – T, M, L in g) in n = 3 (število osnovnih fizikalnih količin – čas, masa in dolžina), torej je potreben (4 -3 = 1) 1 parameter, ki se ga označi s <math> \pi \,</math>, ki je enak:

: <math>\Pi = l^{x_1} \cdot g^{x_2} \cdot m^{x_3} \cdot t^{x_4} \!\, . </math>

Vrednost za π je brez razsežnosti. Posamezne količine se zamenja z izrazi za razsežnost in se dobi:

: <math>L^{x_1} \cdot (L/{T^2})^{x_2} \cdot M^{x_3} \cdot T^{x_4} \!\, . </math>

Iz tega se dobijo naslednje enačbe (za vsako razsežnost posebej mora biti [[potenciranje|eksponent]] enak nič)

: za dolžino L: <math>x_1 + x_2 \; = \; 0</math>
: za maso M: <math>x_3 \; = \; 0</math>
: za čas T: <math>-2 \cdot x_2 + x_4 = 0</math>

Za rešitve sistema enačb se dobi:

: <math>x_4 = 1 \,</math>,
: <math>x_2 =1/2 \,</math>,
: <math>x_1 = -1/2 \,</math>,
: <math>x_3 = 0 \,</math>

To za <math> \pi \,</math> da vrednost:

: <math> \Pi = \sqrt{g / l} \cdot m^0 \cdot t = \sqrt{g / l} \cdot t \!\, , </math>

oziroma:

: <math> \sqrt{g / l} \cdot t = \mathrm{konst.} \!\, . </math>

Pravi izraz za nihajni čas matematičnega nihala pa je:

:  <math>t = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{l / g} \!\, . </math>

== Zunanje povezave ==

* [http://www.roymech.co.uk/Related/Fluids/Dimension_Analysis.html Pregled razsežnosti fizikalnih količin] {{ikona en}}
* [http://chemeng.iisc.ernet.in/kumaran/chap1.pdf Opis razsežnostne analize]{{Slepa povezava|date=oktober 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} {{ikona en}}
* [http://www.siam.org/books/textbooks/MM13Sample.pdf Primeri razsežnostne analize] {{ikona en}}
* [http://www.aerostudents.com/files/aerodynamicsA/dimensionalAnalysis.pdf Uporaba razsežnostne analize] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110517043122/http://www.aerostudents.com/files/aerodynamicsA/dimensionalAnalysis.pdf |date=2011-05-17 }} {{ikona en}}
* [http://neohumanism.org/d/di/dimensional_analysis.html Opis razsežnostne analize] {{ikona en}}

[[Kategorija:Meroslovje]]
[[Kategorija:Razsežnostna analiza| ]]
{{normativna kontrola}}