Dolžina loka

Dolžína lóka (oziroma dolžína lóka krivúlje) je dolžina vzdolž krivulje med dvema danima točkama. To dolžino bi dobili, če bi krivuljo raztegnili v premico.

Določanje dolžine loka

Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Vzemimo realno funkcijo $f(x)$, ki ima zvezni odvod v intervalu $[a,{\text{ }}b]$, tako da je $f'(x)={\frac {dy}{dx}}$. Dolžina loka med točkama $x=a\,$ in $x=b\,$ se določa z:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,{\rm {d}}x\!\,.$

Kadar pa je funkcija dana v polarnem koordinatnem sistemu kot $r=f(\theta )$, je dolžina loka podana z:

$s=\lim \sum _{a}^{b}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\rm {d}}x^{2}+{\rm {d}}y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}t}}\right)^{2}+\left({\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}t}}\right)^{2}}}\,{\rm {d}}t\!\,.$

Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti numerično integriranje.

Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo Pitagorov izrek.

Odvod

Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na neskončno mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.

Na sliki na desni strani lahko uporabimo Pitagorov izrek in dobimo:

${\rm {d}}s={\sqrt {{\rm {d}}x^{2}+{\rm {d}}y^{2}}}\!\,$

ali v drugi obliki:

$\int _{a}^{b}{\sqrt {{\bigg (}{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}t}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}t}}{\bigg )}^{2}}}\,{\rm {d}}t\!\,.$

Kadar je $y\,$ funkcija $x\,$, lahko vzamemo $t=x\,$, in dobimo za dolžino loka od $x=a$ do $x=b$:

$\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\bigg (}{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}{\bigg )}^{2}}}\,{\rm {d}}x\!\,.$

Zunanje povezave

• Dolžina loka na MathWorld (angleško)
• Dolžina loka na MathPage (angleško)
• Dolžina loka na Mathematics (Harvey Mudd College (angleško)