Paposova veriga

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Paposova veriga.
Paposova veriga v arbelosu.

Paposova veriga je skupina krožnic, ki ležijo znotraj arbelosa.

Prvi je verigo skonstruiral grški matematik, geometer in filozof Papos (okoli 290, okoli 350).

Konstrukcija[uredi | uredi kodo]

Arbelos je določen z dvema krožnicama Cu in Cv, ki sta tangentna v točki A kjer se Cu dotika Cv. Označimo polmere teh dveh krožnic z ru in rv. Papusova veriga je sestavljena iz krožnic v osenčenem področju (glej sliko, zgoraj na desni). Vse krožnice se dotikajo notranje ali zunanje krožnice. Označimo z rn polmer n-te krožnice. Z dn označimo premer n-te krožnice. S Pn pa označimo središčne točke (središča) teh krožnic.

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Središča krožnic[uredi | uredi kodo]

Elipsa[uredi | uredi kodo]

Vsa središča krožnic Paposove verige ležijo na elipsi. Vsota razdalj n-te krožnice iz Paposove verige do središč U in V arbelosovih krožnic je konstantna


\overline{\mathbf{P}_{n}\mathbf{U}} + \overline{\mathbf{P}_{n}\mathbf{V}} = 
\left( r_{U} + r_{n} \right) + \left( r_{V} - r_{n} \right) = r_{U} + r_{V}
.

To pa pomeni, da sta gorišči točki U in V, ki sta središči krožnic za določitev arbelosa.

Koordinate[uredi | uredi kodo]

Če je r = AC/AB, potem je središče n-te krožnice verige, v točki

\left(x_n,y_n\right)=\left(\frac {r(1+r)}{2[n^2(1-r)^2+r]}~,~\frac {nr(1-r)}{n^2(1-r)^2+r}\right)

Polmeri krožnic[uredi | uredi kodo]

Če je r = AC/AB, potem je polmer n-te krožnice enak

r_n=\frac {(1-r)r}{2[n^2(1-r)^2+r]}

Steinerjeva veriga[uredi | uredi kodo]

V značilnostih je Paposova veriga analogna Steinerjevi verigi.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]