Kravčukove matrike

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Kravčukove matrike so v matematiki matrike, katerih elementi so vrednosti Kravčukovih polinomov v nenegativnih celih točkah. [1] [2] Imenujejo se po Mihajlu Pilipoviču Kravčuku

Kravčukova matrika K(n) je reda (n+1)×(n+1). Vrednosti elementov Kravčukove matrike so enake:

 K_{ij}^{(n)} = \Sigma_{k} (-1)^{k} \binom {j}{k} \binom {n-j}{i-k} \!\, .

Za nekaj prvih vrednosti n so matrike enake:

 
K^{(0)}=\begin{bmatrix}
                     1
               \end{bmatrix}
\qquad
K^{(1)}=\left [ \begin{array}{rr}
                  1& 1 \\
                  1&-1
\end{array}\right ] 
\qquad
K^{(2)}=\left [ \begin{array}{rrr}
                  1& 1& 1 \\
                  2& 0&-2 \\
                  1&-1& 1
\end{array}\right ]

K^{(3)}=\left [ \begin{array}{rrrr}
               1& 1& 1& 1 \\
               3& 1&-1&-3 \\
               3&-1&-1& 3 \\
               1&-1& 1&-1
\end{array}\right ] 
\qquad
K^{(4)}=\left [ \begin{array}{rrrrr}
              1& 1& 1& 1& 1 \\
              4& 2& 0&-2&-4 \\
              6& 0&-2& 0& 6 \\
              4&-2& 0& 2&-4 \\
              1&-1& 1&-1& 1
\end{array}\right ]

K^{(5)}=\left [ \begin{array}{rrrrrr}
                1&  1& 1& 1& 1&  1 \\
                5&  3& 1&-1&-3& -5 \\
               10&  2&-2&-2& 2& 10 \\
               10& -2&-2& 2& 2&-10 \\
                5& -3& 1& 1&-3&  5 \\
                1& -1& 1&-1& 1& -1
\end{array}\right ]

K^{(6)}=\left [ \begin{array}{rrrrrrr}
                1&  1& 1& 1& 1& 1&  1 \\
                6&  4& 2& 0&-2&-4& -6 \\
               15&  5&-1&-3&-1& 5& 15 \\
               20&  0&-4& 0& 4& 0&-20 \\
               15& -5&-1& 3&-1&-5& 15 \\
                6& -4& 2& 0&-2& 4& -6 \\
                1& -1& 1&-1& 1&-1&  1
\end{array}\right ]

Stolpce Kravčukove matrike imamo lahko za posplošene binomske koeficiente. Vrstice določajo Kravčukove polinome. Za določen n ima i-ti Kravčukov polinom vrednost iz t-te vrstice:

 k_{i} (j, n) = K_{ij}^{(n)} \!\, .

Kvadrat Kravčukove matrike je sorazmeren z identično matriko:

 \left[ K^{(n)} \right]^{2} = 2^{n} \cdot I \!\, .

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ N. Bose, “Digital Filters: Theory and Applications” [North-Holland Elsevier, N.Y., 1985]
  2. ^ P. Feinsilver, J. Kocik: Krawtchouk polynomials and Krawtchouk matrices, Recent advances in applied probability, Springer-Verlag, October, 2004

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]