Ogled vira Enakokraki trapez

[[Slika:Isosceles trapezoid.svg|thumb|right|200px|Enakokraki trapez]]
[[Slika:Bicentric isosceles trapezoid 001.svg|thumb|right|200px|[[bicentrični štirikotnik|Bicentrični]] enakokraki trapez. Takšni so vsi enakokraki [[tangentni trapez]]i.]]

'''Enakokraki trapez''' je [[trapez]], ki ima oba [[krak (geometrija)|krak]]a [[skladnost (geometrija)|skladna]] (enako dolga). To pomeni, da je enakokraki trapez [[štirikotnik]], ki ima dve stranici [[vzporednost|vzporedni]] (a ne skladni), drugi dve stranici pa skladni (a ne vzporedni).

== Opredelitve in splošne značilnosti ==

Enakokraki trapez je [[os vrtenja|osno]] [[simetrija|simetričen]]. Zaradi svoje simetrije se včasih imenuje '''simtra'''.<ref name="esg">Halsted (1896).</ref>{{rp|49–53}} Posledice te značilnosti so še:
* kota ob spodnji osnovnici sta skladna (''α''&nbsp;=&nbsp;''β''), 
* kota ob zgornji osnovnici sta tudi skladna (''γ''&nbsp;=&nbsp;''δ'')
* diagonali sta enako dolgi (''e''&nbsp;=&nbsp;''f'')
* diagonali delita druga drugo na odseke, ki so paroma enako veliki. Pri kvadratih so odseki med seboj enaki.
* s podaljškoma krakov nastane [[enakokraki trikotnik]]. To za kvadrate ne velja.
* nekateri enakokraki trapezi so lahko [[ortodiagonalni štirikotnik|ortodiagonalni]]
* daljica, ki povezuje razpolovišči vzporednih osnovnic, je pravokotna nanju
* [[nasprotna kota|nasprotna]] [[notranji kot|notranja kota]] sta [[suplementarna kota|suplementarna]], zato lahko enakokrakemu trapezu vedno [[očrtana krožnica|očrtamo krožnico]] in je [[tetivni štirikotnik]].

Vsak štirikotnik z eno [[osna simetrija|osno simetrijo]] je lahko le enakokraki trapez ali [[deltoid]].<ref name="esg" />{{rp|49–53}}

Če v razred trapezov upoštevamo tudi [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]]e, lahko enakokraki trapez zgoščeno opredelimo kot »tetivni štirikotnik z enakima diagonalama« ali kot »tetivni štirikotnik s parom vzporednih stranic«.<ref name="de_villiers_1994">De Villiers (1994).</ref>

== Posebni primeri ==

Nekaterim enakokrakim trapezom lahko [[včrtana krožnica|včrtamo krožnico]] in so [[tangentni štirikotnik]]i, oziroma poseben primer [[tangentni trapez|tangentnega trapeza]] - [[enakokraki tangentni trapez]]. Ker so vsi enakokraki tangentni trapezi tudi tetivni štirikotniki, so tako tudi [[bicentrični štirikotnik|bicentrični]], in jim lahko hkrati očrtamo in včrtamo krožnico.

== Diagonali in višina ==

[[Slika:Isoscelestriangle2.svg|thumb|right|200px|Enakokraki trapez]]
[[diagonala|Diagonali]] sta v enakokrakem trapezu enaki, oziroma vsak enakokraki trapez je [[enakodiagonalni štirikotnik]]. Velja še naprej, da diagonali delita druga drugo z enakima [[razmerje]]ma. Diagonali na sliki {{brez preloma|''e'' {{=}} ''AC''}} in {{brez preloma|''f'' {{=}} ''BD''}} imata enaki dolžini, in velja {{brez preloma|''e'' {{=}} ''f''}}. Druga drugo delita na odseke z enakimi dolžinami: {{brez preloma|''AE'' {{=}} ''DE''}} in {{brez preloma|''BE'' {{=}} ''CE''.}}

Razmerja delitev diagonal sta enaka razmerju dolžin osnovnic ''a'' = ''AD'' in ''c'' = BC'':

: <math> \frac{AE}{EC} = \frac{DE}{EB} = \frac{a}{c} \!\, . </math>

Dolžina posamezne diagonale je po [[Ptolemajev izrek|Ptolemajevem izreku]] dana z:

: <math> e=f=\sqrt{ac+b^{2}} \!\, , </math>

kjer je ''b'' dolžina krakov ''AB'' in ''CD''.

[[pravokotnost|Pravokotna]] [[razdalja]] med osnovnicama - [[višina]] ''v'' je po [[Pitagorov izrek|Pitagorovem izreku]] enaka:

: <math> v=\sqrt{e^{2}-m^{2}}=\sqrt{e^{2}-\left(\frac{a+c}{2}\right)^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{1}{4}\left(a-c\right)^{2}} \!\, , </math>

kjer je ''m'' [[srednjica]] ([[daljica]], ki veže [[razpolovišče|razpolovišči]] nevzporednih enako dolgih stranic ''b'', in je vzporedna osnovnicama). Njena dolžina je [[srednja vrednost]] stranic ''a'' in ''c''

: <math> m = \frac{a+c}{2} \!\, </math>

== Obseg ==

[[Obseg]] enakokrakega trapeza je skupna dolžina vseh stranic:

: <math> o = a + 2b + c \!\, . </math>

== Ploščina ==

[[Ploščina]] enakokrakega trapeza je enaka:

: <math> p = m v = \frac{(a+c)v}{2} = \frac{a+c}{2}\sqrt{b^{2}-\frac{1}{4}\left(a-c\right)^{2}} \!\, . </math>
              
Na ploščino trapeza lahko gledamo kot na produkt višine in srednje vrednosti vzporednih stranic.

Za ploščino lahko uporabimo tudi drug [[formula|obrazec]], če poznamo le dolžine stranic. Če so stranice ''a'', ''b'' in ''c'', ''a'' in ''c'' pa sta vzporedni (kjer je ''a'' daljša od obeh vzporednih stranic (''a'' > ''c'')), velja:

: <math> p = \sqrt{(s-a)(s-c)(s-b)^2} \!\, , </math>

kjer je:

: <math> s = \tfrac{1}{2}(a + 2b + c) \!\, </math>

[[polobseg]] enakokrakega trapeza. Obrazec lahko zapišemo kot: 

: <math> p=\frac{a+c}{4(a-c)}\sqrt{(a+2b-c)(a-c)^{2}(-a+2b+c)} = \sqrt{\frac{(a+c)^2(a+2b-c)(-a+2b+c)}{16}} \!\, . </math>

Če je manjša vzporedna stranica ''c'' enaka nič, ta obrazec postane [[Heronova formula|Heronov obrazec]] za [[enakokraki trikotnik]].

== Polmer očrtane krožnice ==

Polmer očrtane krožnice je enak:

: <math> R=b\sqrt{\frac{ac+b^{2}}{4b^{2}-(a-c)^{2}}} \!\, . </math>

V [[pravokotnik]]u, kjer je ''a'' = ''c'', velja:

: <math> R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}} \!\, . </math>

== Sklici ==
{{sklici|2}}

== Viri ==

* {{navedi revijo|last=De Villiers|first=Michael|title=The Role and Function of a Hierarchical Classification of Quadrilaterals|journal=[[For the Learning of Mathematics]]|date=februar 1994|volume=14|issue=1|url=http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/classify.pdf|access-date=2012-07-10|archive-date=2011-07-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20110719175018/http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/classify.pdf|url-status=dead}}
* {{citat|last=Halsted|first=George Bruce|authorlink=George Bruce Halsted|title=Elementary Synthetic Geometry|publisher=J. Wiley & sons|year=1896|contribution=Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals|url=http://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49|pages=49–53}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|urlname=IsoscelesTrapezoid|title=Isosceles Trapezoid}}

{{-}}

{{mnogokotniki}}

[[Kategorija:Štirikotniki]]