Dualna krivulja

Dualna krivulja je v projektivni geometriji za dano krivuljo $C\,$ krivulja v dualni projektivni ravnini, ki jo sestavlja množica tangentnih premic na $C\,$ . Obstoja preslikava iz krivulje v njeno dualno obliko .

Parametrična oblika dualne krivulje

Za parametrično določeno krivuljo je dualna krivulja definirana s parametričnima enačbama

X[x,y]={\frac {y'}{yx'-xy'}}

Y[x,y]={\frac {x'}{xy'-yx'}}

Dualna točka prevoja nam da točko obrata. Dve točki, ki imata skupno tangento, bosta dali točko, kjer dualna krivulja seka samo sebe.

Lastnosti

Gladke krivulje

Če je $X\,$ gladka algebrska krivulja s stopnjo $d>1$ , potem je dualna krivulja (običajno singularna) ravninska krivulja s stopnjo $d(d-1)$ .

Če je $d>2$ , potem je $d-1>1$ in je $d(d-1)>d$ in dualna krivulja mora biti singularna.

Če je $d=2$ , je tudi stopnja dualne krivulje tudi 2. Dualna krivulja stožnice je tudi stožnica.

Dualna krivulja premice je točka.

Singularne krivulje

za poljubno ravninsko algebrsko krivuljo $X\,$ s stopnjo $d>1$ je njena dualna krivulja ravninska s stopnjo $d(d-1)-\delta$ , kjer je $\delta$ število singularnosti na krivulji $X\,$ . Pri tem se vse singularnosti ne upoštevajo enako. Vsak vozel se množi z 2, vsaka točka obrata s 3.

Posplošitve

Podobno je pri posplošitvah na več razsežnosti. Pri tem dobimo hiperploskve, ker v vsaki točki tangentnega prostora dobimo družino hiperploskev. Te definirajo dualno hiperploskev v dualnem prostoru.

Za poljubno zaprto podvarieteto $X\,$ v projektivnem prostoru tvori množica hiperravnin, ki so tangentne v neki točki $X\,$ , zaprto podvarieteto dualno projektivni ravnini.

Glej tudi

Zunanje povezave

Dualna krivulja (angleško)