Pogojna verjetnost

Pogojna verjetnost je verjetnost, da se zgodi dogodek $A \!$, pod pogojem, da se je zgodil neki drugi dogodek $B\!$. Takšno verjetnost označimo s $P(A|B) \!$. Pogojno verjetnost lahko določimo za nezvezne (diskretne) in zvezne slučajne spremenljivke.

Vennov diagram, ki prikazuje presek dveh množic.

Dva dogodka

Za dva dogodka dobimo pogojno verjetnost po obrazcu:

$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$,

kjer je

• $P(B)>0 \!$
• z oznako $P(A \cap B) \!$ je označeno pojavljanje dogodka $A \!$ in dogodka $B\!$ (presek dogodkov $A \!$ in $B\!$).

Za presek dogodkov uporabljamo tudi izraz produkt dogodkov. Verjetnost produkta dogodkov označimo tudi s $P(AB)\!$. V tem primeru za pogojno verjetnost lahko zapišemo $P(A|B) =\frac {P(AB)}{P(B)} \!$.

Kadar je $B\!$ enako nič, je verjetnost $P(A|B) \!$ nedefinirana (glej Borel-Kolmogorov paradoks).

Velja tudi

$P(B|A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)}$.

Večje število dogodkov

Zgornji izraz lahko napišemo kot

$P(A|B).P(B) = P(A \cap B) \!$

oziroma posplošimo na tri dogodke

$P(A \cap B\cap C) =P(A)P(B|A)P(C|A \cap B) \!$.

Za poljubno število dogodkov pa to napišemo kot

$\begin{align} P(A_1 \cap A_2 \cap\dots\cap A_n) &= P(A_1) \cdot \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)} \cdot \frac{P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)}{P(A_1 \cap A_2)} \cdot \ldots \cdot \frac{P(A_1\cap\dots\cap A_n)}{P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})}\\ &= P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot P(A_n|A_1\cap\dots\cap A_{n-1}) \end{align}$

Neodvisni in nezdružljivi dogodki

Dva dogodka $A \!$ in $B\!$ sta neodvisna, če zanju velja

$P(A|B) = P(A) \!$ in $P(B|A) = P(B) \!$.

To pomeni, da je za neodvisne dogodke je pogojna verjetnost enaka verjetnosti posameznih dogodkov.

Za neodvisne dogodke velja tudi

$P(A|B) = P(A) \!$ oziroma $P(B|A) = P(B|\overline A) \!$

kjer je z $\overline A \!$ označena negacija dogodka $A \!$ (dogodek $A \!$ se ne zgodi).

Povsem enostavno je posplošiti zgornje izraze na večje število dogodkov.

Za verjetnost produkta neodvisnih dogodkov velja tudi

$P(A\cap B) =P(A).P(B) \!$.

Kadar pa sta dogodka nezdružljiva velja

$P(A|B) = 0 \!$.

Bayesov obrazec

Povezavo med verjetnostjo $P(A|B) \!$ in $P(B|A) \!$ nam daje Bayesov obrazec (izrek o verjetnosti hipotez).

$P(B {\mid} A)= P(A {\mid} B) \, \frac{P(B)}{P(A)}.$.

Zvezne spremenljivke

Podobno definiramo pogojno verjetnost za zvezne spremenljivke.

$f(x|A) = \begin{cases} \frac {f(x)} {P(A)} & x \epsilon A\\ 0 & x \notin A\\ \end{cases}$

kjer je

• $f(x) \!$ funkcija gostote verjetnosti za slučajno spremenljivko X
• A je dogodek s pozitivno verjetnostjo

Za katerikoli dogodek B velja tudi

$P(B|A) = \int \limits_B f(x|A) dx\ \!$.

Verjetnost $P(B|A) \!$ je pogojna verjetnost za dogodek B, če se je zgodil dogodek A.