Pogojna verjetnost

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Pogojna verjetnost je verjetnost, da se zgodi dogodek  A \!, pod pogojem, da se je zgodil neki drugi dogodek  B\!. Takšno verjetnost označimo s P(A|B) \!. Pogojno verjetnost lahko določimo za nezvezne (diskretne) in zvezne slučajne spremenljivke.

Vennov diagram, ki prikazuje presek dveh množic.

Dva dogodka[uredi | uredi kodo]

Za dva dogodka dobimo pogojno verjetnost po obrazcu:

P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)},

kjer je

  • P(B)>0 \!
  • z oznako  P(A \cap B) \! je označeno pojavljanje dogodka  A \! in dogodka  B\! (presek dogodkov  A \! in  B\!).

Za presek dogodkov uporabljamo tudi izraz produkt dogodkov. Verjetnost produkta dogodkov označimo tudi s P(AB)\!. V tem primeru za pogojno verjetnost lahko zapišemo P(A|B) =\frac {P(AB)}{P(B)} \!.

Kadar je  B\! enako nič, je verjetnost P(A|B) \! nedefinirana (glej Borel-Kolmogorov paradoks).

Velja tudi

P(B|A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)}.

Večje število dogodkov[uredi | uredi kodo]

Zgornji izraz lahko napišemo kot

P(A|B)P(B) = P(A \cap B) \!

oziroma posplošimo na tri dogodke

 P(A \cap B\cap C) =P(A)P(B|A)P(C|A \cap B) \!.

Za poljubno število dogodkov pa to napišemo kot


\begin{align}
P(A_1 \cap A_2 \cap\dots\cap A_n)
&= P(A_1) \cdot \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)}
          \cdot \frac{P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)}{P(A_1 \cap A_2)}
          \cdot \ldots 
          \cdot \frac{P(A_1\cap\dots\cap A_n)}{P(A_1\cap\dots\cap A_{n-1})}\\
&= P(A_1) \cdot P(A_2|A_1)
          \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2)
          \cdot \ldots
          \cdot P(A_n|A_1\cap\dots\cap A_{n-1})
\end{align}

Neodvisni in nezdružljivi dogodki[uredi | uredi kodo]

Dva dogodka  A \! in  B\! sta neodvisna, če zanju velja

P(A|B) = P(A) \! in P(B|A) = P(B) \!.

To pomeni, da je za neodvisne dogodke je pogojna verjetnost enaka verjetnosti posameznih dogodkov.

Za neodvisne dogodke velja tudi

P(A|B) = P(A) \! oziroma P(B|A) = P(B|\overline A) \!

kjer je z  \overline A \! označena negacija dogodka  A \! (dogodek  A \! se ne zgodi).

Povsem enostavno je posplošiti zgornje izraze na večje število dogodkov.

Za verjetnost produkta neodvisnih dogodkov velja tudi

 P(A\cap B) =P(A).P(B) \!.

Kadar pa sta dogodka nezdružljiva velja

P(A|B) = 0 \!.

Bayesov obrazec[uredi | uredi kodo]

Povezavo med verjetnostjo P(A|B) \! in P(B|A) \! nam daje Bayesov obrazec (izrek o verjetnosti hipotez).

P(B {\mid} A)= P(A {\mid} B) \, \frac{P(B)}{P(A)}..

Zvezne spremenljivke[uredi | uredi kodo]

Podobno definiramo pogojno verjetnost za zvezne spremenljivke.

f(x|A) = \begin{cases}
\frac {f(x)} {P(A)} & x \epsilon A\\
0 & x \notin A\\
\end{cases}

kjer je

Za katerikoli dogodek B velja tudi

P(B|A) = \int \limits_B f(x|A) dx\ \!.

Verjetnost P(B|A) \! je pogojna verjetnost za dogodek B, če se je zgodil dogodek A.