Gudermannova funkcija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Gudermannova funkcija z asimptotama (v modri barvi) y = ±π/2 .

Gudermannova funkcija (oznaka  \operatorname gd \text { }x ) povezuje trigonometrične in hiperbolične funkcije brez uporabe kompleksnih števil.

Imenuje se po nemškem matematiku Chrisophu Gudermannu (1798 – 1852).

Določena je z

\begin{align}{\rm{gd}}\,x&=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \\[8pt]
&=\arcsin\left(\tanh x \right)
=\mathrm{arctan}\left(\sinh x \right) \\[8pt]
&=2\arctan\left[\tanh\left(\tfrac12x\right)\right]
=2\arctan(e^x)-\tfrac12\pi.
\end{align}\,\!

Za Gudermannovo funkcijo veljajo naslednje zveze

\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}
\sin\mathrm{gd}\,x}}}&=\tanh x ;\quad
\csc\mathrm{gd}\,x=\coth x ;\\
\cos\mathrm{gd}\,x&=\mathrm{sech}\, x ;\quad\,
\sec\mathrm{gd}\,x=\cosh x ;\\
\tan\mathrm{gd}\,x&=\sinh x ;\quad\,
\cot\mathrm{gd}\,x=\mathrm{csch}\, x ;\\
{}_{\color{white}.}\tan\tfrac{1}{2}\mathrm{gd}\,x&=\tanh\tfrac{1}{2}x.
\end{align}\,\!.
Inverzna Gudermannova funkcija.

Inverzna funkcija Gudermannove funkcije je določena na intervalu  - \pi/2 < x< \pi/2


\begin{align}
\operatorname{gd}^{-1}\,x & = \int_0^x\frac{dt}{\cos t} \\[8pt]
& = \ln\left| \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right| = \tfrac12\ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| \\[8pt]
& = \ln\left| \tan x +\sec x \right| = \ln \left| \tan\left(\tfrac14\pi + \tfrac12x\right) \right| \\[8pt]
& = \mathrm{artanh}\,(\sin x) = \mathrm{arsinh}\,(\tan x).
\end{align}
.

Odvod Gudermannove funkcije je

\frac{d}{dx}\;\mathrm{gd}\,x=\mathrm{sech}\, x;
\quad \frac{d}{dx}\;\operatorname{gd}^{-1}\,x=\sec x .

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]