Gudermannova funkcija

Gudermannova funkcija z asimptotama (v modri barvi) y = ±π/2 .

Gudermannova funkcija (oznaka $\operatorname gd \text { }x$) povezuje trigonometrične in hiperbolične funkcije brez uporabe kompleksnih števil.

Imenuje se po nemškem matematiku Chrisophu Gudermannu (1798 – 1852).

Določena je z

$\begin{align}{\rm{gd}}\,x&=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \\[8pt] &=\arcsin\left(\tanh x \right) =\mathrm{arctan}\left(\sinh x \right) \\[8pt] &=2\arctan\left[\tanh\left(\tfrac12x\right)\right] =2\arctan(e^x)-\tfrac12\pi. \end{align}\,\!$

Za Gudermannovo funkcijo veljajo naslednje zveze

$\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black} \sin\mathrm{gd}\,x}}}&=\tanh x ;\quad \csc\mathrm{gd}\,x=\coth x ;\\ \cos\mathrm{gd}\,x&=\mathrm{sech}\, x ;\quad\, \sec\mathrm{gd}\,x=\cosh x ;\\ \tan\mathrm{gd}\,x&=\sinh x ;\quad\, \cot\mathrm{gd}\,x=\mathrm{csch}\, x ;\\ {}_{\color{white}.}\tan\tfrac{1}{2}\mathrm{gd}\,x&=\tanh\tfrac{1}{2}x. \end{align}\,\!$.

Inverzna Gudermannova funkcija.

Inverzna funkcija Gudermannove funkcije je določena na intervalu $- \pi/2 < x< \pi/2$

$\begin{align} \operatorname{gd}^{-1}\,x & = \int_0^x\frac{dt}{\cos t} \\[8pt] & = \ln\left| \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right| = \tfrac12\ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| \\[8pt] & = \ln\left| \tan x +\sec x \right| = \ln \left| \tan\left(\tfrac14\pi + \tfrac12x\right) \right| \\[8pt] & = \mathrm{artanh}\,(\sin x) = \mathrm{arsinh}\,(\tan x). \end{align}$.

Odvod Gudermannove funkcije je

$\frac{d}{dx}\;\mathrm{gd}\,x=\mathrm{sech}\, x; \quad \frac{d}{dx}\;\operatorname{gd}^{-1}\,x=\sec x$.

Glej tudi

• hiperbolična sekantna porazdelitev
• Mercatorjeva projekcija
• traktrisa

Zunanje povezave

• Gudermannova funkcija na MathWorld (v angleščini)
• Gudermannova funkcija na PlanetMath (v angleščini)
• Inverzna Gudermannova funkcija na PlanetMath (v angleščini)