Bézoutova matrika

Bézoutova matrika (tudi bezutian) (oznaka $B_n \,$ za matriko reda $n \,$ ) je posebna kvadratna matrika, ki je povezana z dvema polinomoma.

Matrika se imenuje po francoskem matematiku Étiennu Bézoutu (1730 – 1783).

Vsebina

1 Definicija
2 Zgledi
3 Lastnosti
4 Uporaba
5 Zunanje povezave

[uredi] Definicija

Naj bosta $f(z) \,$ in $g(z) \,$ dva kompleksna polinoma z največ $n \,$ keoficienti, od katerih so nekateri lahko enaki 0. To lahko zapišemo kot

$f(z)=\sum_{i=0}^n u_i z^i,\quad\quad g(z)=\sum_{i=0}^n v_i z^i.$ .

Bézoutova matrika reda $n \,$ za polinoma $f \,$ in $g \,$ je enaka

$B_n(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=1,\dots,n} \,$

kjer se posamezni koeficienti dobijo iz

$\frac{f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y} =\sum_{i,j=1}^n b_{ij}\,x^{i-1}\,y^{j-1}.$ .

Uporablja se prostor $\C^{n\times n}$ in če označimo za vsak $i, j = 1, \dots, n \,$ z $m_{ij} = min{i, n+1-f} \,$ , potem je

$b_{ij}=\sum_{k=1}^{m_{ij}}u_{j+k-1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k-1}.$

[uredi] Zgledi

Za $n=3 \,$ imamo za poljubna polinoma $f \,$ in $g \,$ stopnje 3

$B_3(f,g)=\left[\begin{matrix}u_1v_0-u_0 v_1 & u_2 v_0-u_0 v_2 & u_3 v_0-u_0 v_3\\u_2 v_0-u_0 v_2 & u_2v_1-u_1v_2+u_3v_0-u_0v_3 & u_3 v_1-u_1v_3\\u_3v_0-u_0v_3 & u_3v_1-u_1v_3 & u_3v_2-u_2v_3\end{matrix}\right] \,$

Naj bosta $f(x) = 3x^3 - x \,$ in $g(x) = 5x^2 + 1 \,$ dva polinoma. Potem je

$B_4(f,g)=\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 3 & 0\\0 &8 &0 &0 \\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right].$ .

[uredi] Lastnosti

$B_n(f,g) \,$ je simetrična matrika
$B_n(f,g)=-B_n(g,f) \,$
$B_n(f,f)=0 \,$
$B_n(f,g) \,$ je bilinearna v (f,g);
$B_n(f,g) \,$ je v $\mathbb{R}^{n\times n}$ če imata $f \,$ in $g \,$ realne koeficiente
$B_n(f,g) \,$ je nesingularna z $n=max(deg(f),deg(g)) \,$ če in samo, če $f \,$ in $g \,$ nimata skupnih rešitev
$B_n(f,g) \,$ z $n=max(deg(f),deg(g)) \,$ ima determinanto, ki je rezultanta polinomov $f \,$ in $g \,$ .