Aksiomi Kolmogorova

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Aksiomi Kolmogorova so minimalni pogoji za določanje funkcije verjetnosti, ki opisuje verjetnost določenega dogodka. Aksiome je napisal ruski matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov. Prvi opis aksiomov lahko najdemo v knjigi "Splošna teorija mere in teorija verjetnosti" iz leta 1929. V letu 1933 je aksiome dopolnil v delu "Osnove teorije verjetnosti".

Aksiomi Kolmogorova[uredi | uredi kodo]

Imamo množico vseh elementarnih dogodkov Ω, glede na katero definiramo σ, ki je podmnožica Ω, in funkcijo P, ki nam preslika vrednosti σ v realna števila. Pravimo, da funckija P predstavlja verjetnost, če veljajo naslednji trije aksiomi.

Prvi aksiom[uredi | uredi kodo]

Verjetnost dogodka A je nenegativno realno število.

P(A) \geq 0

Drugi aksiom[uredi | uredi kodo]

Verjetnost množice vseh dogodkov Ω je 1.

P(\Omega) = 1\!

Tretji aksiom[uredi | uredi kodo]

Če so dogodki A_1, A_2, \dots paroma nezdružljivi, potem je verjetnost unije dogodkov enaka vsoti verjetnosti posamičnih dogodkov.

P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(A_i).

Lastnosti verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Iz teh aksiomov lahko izpeljemo naslednje lastnosti verjetnosti.


Če je dogodek A način dogodka B, potem je verjetnost dogodka A manjša ali enaka verjetnosti dogodka B.

\quad\text{Če}\quad A\subseteq B\quad\text{potem}\quad P(A)\leq P(B).


Verjetnost prazne množice dogodkov je 0.

P(\emptyset)=0.


Verjetnost dogodka je realno število večje ali enako 0 in manjše ali enako 1.

0\leq P(E)\leq 1\qquad


Verjetnost dogodka, da se zgodi dogodek A ali se zgodi B, je enaka vsoti verjetnosti dogodka A in verjetnost dogodka B minus verjetnost dogodka, da se hkrati zgodita A in B. To imenujemo pravilo vsote.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).


Verjetnost, da se dogodek ne zgodi, je enaka razliki med 1 in verjetnostjo dogodka.

P(\Omega\setminus E) = 1 - P(E)

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]