Poissonova enačba

Poissonova enáčba [poasónova ~] (imenovana tudi enačba teorije potenciala) je v matematiki parcialna diferencialna enačba 2. reda

$\nabla ^{2}\phi ({\vec {\mathbf {r} }})\equiv \nabla \cdot (\nabla \phi ({\vec {\mathbf {r} }}))=\rho ({\vec {\mathbf {r} }})\!\,,$

kjer je $\nabla ^{2}$ Laplaceov operator, φ skalarno polje in ρ, velikokrat imenovana izvorna funkcija, poljubna dana funkcija kraja v podmnožici D množice $\mathbb {R} ^{n}$ (mnogoterosti).

Če je funkcija točke ρ = 0, dobimo Laplaceovo enačbo:

$\nabla ^{2}\phi =0\!\,.$

Poissonova enačba se zapisuje tudi v obliki:

$\Delta \phi ({\vec {\mathbf {r} }})=\rho ({\vec {\mathbf {r} }})\!\,,$

običajno kadar mnogoterost ni evklidski prostor.

Značilnosti

Poissonova enačba je linearna in zanjo velja načelo superpozicije: za $\nabla ^{2}\phi _{1}=\rho _{1}$ in $\nabla ^{2}\phi _{2}=\rho _{2}$ sledi $\nabla ^{2}(\phi _{1}+\phi _{2})=\rho _{1}+\rho _{2}$. To dejstvo pomaga pri konstrukciji rešitev Poissonove enačbe iz osnovnih rešitev ali Greenovih funkcij, kjer je izvorna porazdelitev Diracova porazdelitvena funkcija.

V trirazsežnih kartezičnih koordinatah ima obliko:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\phi (x,y,z)=\rho (x,y,z)\!\,.$

Leta 1812 je Siméon-Denis Poisson odkril, da Laplaceova enačba velja samo zunaj telesa. Strogi dokaz za mase s spremenljivo gostoto pa je podal šele Carl Friedrich Gauss leta 1839. Poisson je prvič objavil svojo enačbo leta 1813 v Bulletin de in société philomatique. Obe enačbi imata ekvivalenta v vektorski algebri.

Enačba se veliko uporablja v elektrostatiki, strojništvu ali v teoretični fiziki.

Rešitev φ za dano funkcijo f je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno dobimo električni potencial Ψ za dano porazdelitev električnega naboja ρ_e:

$\nabla ^{2}\Psi ={\rho _{e} \over \varepsilon \varepsilon _{0}}\!\,.$

Za numerične rešitve enačbe obstaja več metod. Ena od njih, s pomočjo iteracijskega algoritma je relaksacijska metoda.

Raziskovanje skalarnega polja φ iz dane divergence ρ(x, y, z) njegovega gradienta vede na Poissonovo enačbo v 3-razsežnem prostoru:

$\nabla ^{2}\phi =\rho (x,y,z)\!\,.$

To je pomemben primer za n = 3. Tu je D cela v ${\vec {\mathbb {R} }}^{3}$. Ko se točka oddalji v neskončnost ($\vert {\vec {\mathbf {r} }}\vert \to \infty$) je $\phi ({\vec {\mathbf {r} }})\to 0$. Splošna rešitev je Newtonov potencial:

$\phi ({\vec {\mathbf {r} }})=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\rho ({\vec {\mathbf {r'} }})}{\vert {\vec {\mathbf {r} }}-{\vec {\mathbf {r'} }}\vert }}\mathrm {d} ^{3}{\vec {\mathbf {r'} }}\!\,$

Zgledi

V tekočini porazdelitev naboja ni znana in je potrebno uporabiti Poisson-Boltzmannovo enačbo, ki pa se v večini primerov ne da rešiti analitično, ampak samo za določene primere.

Laplaceova in Poissonova enačba sta najpreprostejša primera eliptičnih parcialnih diferencialnih enačb.

Newtonska gravitacija

V primeru gravitacijskega polja g zaradi privlačne sile masivnega telesa z gostoto ρ lahko za ustrezno Poissonovo enačbo za gravitacijo uporabimo Gaussov gravitacijski zakon v diferencialni obliki:

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {g} }}=-4\pi \kappa \rho \!\,.$

Ker je gravitacijsko polje konservativno, ga lahko izrazimo s skalarnim potencialom Φ (gradient skalarnega potenciala - gravitacijski potencial):

${\vec {\mathbf {g} }}=-\nabla \Phi \!\,.$

Če vstavimo v Gaussov gravitacijski zakon:

$\nabla \cdot (-\nabla \Phi )=-4\pi \kappa \rho \!\,,$

dobimo Poissonovo enačbo za gravitacijo:

${\nabla }^{2}\Phi =4\pi \kappa \rho \!\,.$

Če polje φ ni skalarno, velja Poissonova enačba, kot je to lahko v 4-razsežnem prostoru Minkowskega:

$\square ^{2}\phi _{\mu \nu }=\rho (ct,x,y,z)\!\,.$

Takšne probleme rešuje splošna teorija relativnosti, ki gravitacijsko polje obravnava z značilnostmi prostor-časa.

Elektrostatika

Eden od temeljev elektrostatike so problemi in njihove rešitve, ki jih opisuje Poissonova enačba. Iskanje φ za dano ρ je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno poiščemo električni potencial za dano porazdelitev naboja.

Po Gaussovem zakonu o električnem pretoku imamo:

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {D} }}=\rho _{e}\!\,,$

kjer je:

$\mathbf {\nabla } \cdot \,$ operator divergence nabla,

${\vec {\mathbf {D} }}\,$ gostota električnega polja,

$\rho _{e}\,$ gostota prostega naboja, (ki opisuje delež naboja od zunaj).

Če privzamemmo da je snov linearna, izotropna in homogena, velja:

${\vec {\mathbf {D} }}=\varepsilon {\vec {\mathbf {E} }}\!\,,$

kjer je:

$\varepsilon \,$ dielektričnost snovi,

${\vec {\mathbf {E} }}\,$ jakost električnega polja.

Z zamenjavo in deljenjem imamo:

$\nabla \cdot {\vec {\mathbf {E} }}={\frac {\rho }{\varepsilon }}\!\,.$

V odstotnosti spremenljivega magnetnega polja ${\vec {\mathbf {B} }}$ Faradayjev indukcijski zakon da:

$\nabla \times {\vec {\mathbf {E} }}=-{\dfrac {\partial {\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=0\!\,,$

pri čemer je:

$\nabla \times \,$ operator rotorja,

$t\,$ čas.

Ker je rotor jakosti električnega polja enak 0, ga določa skalarno električno potencialno polje $\varphi$ (glej Helmholtzova dekompozicija).

${\vec {\mathbf {E} }}=-\nabla \phi \!\,.$

Z zamenjavo izločimo ${\vec {\mathbf {E} }}$ in dobimo obliko Poissonove enačbe:

$\nabla \cdot \nabla \phi ={\nabla }^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}\!\,.$

Pri reševanju Poissonove enačbe za potencial moramo poznati porazdelitev gostote naboja. Če je gostota naboja enaka 0, sledi Laplaceova enačba. Če za gostoto naboja velja Boltzmannova porazdelitev, sledi Poisson-Boltzmannova enačba. Slednja igra vlogo pri razvoju Debye-Hücklova teorije razredčenih elektrolitskih raztopin.

Čeprav je zgoraj privzeto, da se magnetno polje ne spreminja s časom, dobimo enako Poissonovo enačbo, če je s časom spremenljivo, vse dokler uporabljamo Coulombovo umeritev. V tako široki sliki računanje $\phi$ ni več dovolj za izračun ${\vec {\mathbf {E} }}$, saj je jakost električnega polja odvisna tudi od magnetnega vektorskega potenciala, ki ga je treba izračunati posebej.

Potencial normalno porazdeljene gostote naboja

Če je gostota naboja $\rho (r)$ normalno porazdezdeljena sferno in simetrično

$\rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\!\,,$

kjer je Q celotni naboj, je rešitev Poissonove enačbe φ (r):

${\nabla }^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}\!\,$

dana z:

$\phi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\!\,,$

kjer je erf(x) funkcija napake. To rešitev lahko preverimo eksplicitno s pazljivim ročnim izračunavanjem ${\nabla }^{2}\phi$. Pri tem se za r, veliko večji od σ, vrednost erf(x) približuje enoti, vrednost potenciala φ (r) pa točkasto nabitemu potencialu ${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}$, kot bi pričakovali. Poleg tega se vrednost funkcije napake približuje 1 zelo hitro, če se ji povečuje argument. Praktično je za r > 3σ relativna napaka manjša od 1/1000.

Glej tudi

• difuzijska enačba
• Helmholtzova diferencialna enačba
• nezvezna Poissonova enačba

Zunanje povezave

• Poissonova enačba Arhivirano 2012-02-18 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)

Članek je dopolnjen s člankom iz PlanetMath.org