Cayley-Dicksonova konstrukcija

Cayley-Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako, da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne.

Algebre, ki se jih tvori na ta način, se imenujejo Cayley-Dicksonove algebre, ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila. Vse te algebre vsebujejo involucijo.

Kompleksna števila kot urejeni pari

Kompleksna števila se lahko zapiše kot urejeni par $(a,b)\,$ realnih števil $a\,$ in $b\,$. Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento, množenje pa je določeno kot:

$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\!\,.$

Vidi se, da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu, kar pomeni, da je $(a,0)\,$ realno število.

Konjugirano število

Konjugirano število $(a,b)^{*}=(a,-b)\,$. Za konjugirana števila velja značilnost:

$(a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^{2}+b^{2},0)\!\,.$

To pa je nenegativno realno število. Tako konjugacija definira normo. Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili.

Normo kompleksnega števila $z\,$ se izračuna kot:

$|z|=(z^{*}z)^{1/2}\!\,,$

Obratna vrednost pa je:

$z^{-1}={\frac {z^{*}}{|z|^{2}}}\!\,.$

Kvaternioni

Kvaternione se dobi s pomočjo podobnega postopka.

Uporabi se urejeni par $(a,b)\,$ kompleksnih števil $a\,$ in $b\,$. Množenje se definira kot :

$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})\!\,.$

Konjugirana vrednost para $(a,b)\,$ je določena kot:

$(a,b)^{*}=(a^{*},-b)\!\,.$

Produkt tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je:

$(a,b)^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})=(|a|^{2}+|b|^{2},0)\!\,.$ To pa je nenegativno število. Pari teh števil tvorijo algebro, ki je podobna algebri realnih števil. Te vrste števila se imenujejo kvaternioni.

Oktonioni

Postopek se lahko nadaljuje na podoben način. Urejeni par $(p,q)\,$ dveh kvaternionov $p\,$ in $q\,$. Množenje in konjugiranje se definira enako kot za kvaternione. Urejeni par $(p,q)\,$ kvaternionov $p\,$ in $q\,$.

$(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*})\!\,.$

Velja:

$(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*})\!\,.$

Pri tem je treba upoštevati, da kvaternioni niso komutativni.

Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves (1806 – 1870). Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila.

Naslednje algebre

Algebra, ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov. V tej algebri velja potenčna asociativnost. To pa pomeni, da za sedenion $s\,$ velja $s^{n}s^{m}=s^{n+m}\,$.

Cayley-Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsak naslednji korak da novo algebro, ki je potenčno asociativna, njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne.

Zunanje povezave

• Zgodovina hiperkompleksnih števil (angleško)
• Cayley-Dicksonova konstrukcija (angleško)
• Cayley-Dicksonova konstrukcija Arhivirano 2008-07-05 na Wayback Machine. na PlanethMath (angleško)