Diagonalna matrika

Diagonalna matrika je kvadratna matrika v kateri so vsi elementi zunaj glavne diagonale enaki 0. Pri tem pa so elementi diagonale enaki nič ali pa tudi ne.

Za matriko $D\,$ z elementi $d_{ij}\,$ to pomeni

$d_{i,j}=0{\mbox{ kadar je }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}.$.

Diagonalno matriko lahko zapišemo tudi kot

$a_{ij}=a_{i}\delta _{ij}\,$,

kjer je

• $\delta _{ij}\,$ Kroneckerjeva delta.

Diagonalne matrike tudi označujemo malo drugače. Zgornjo matriko lahko zapišemo tudi kot:

$D=\mathrm {diag} (d_{11},d_{22,}\dots ,d_{nn})={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{nn}\end{bmatrix}}$.

Enotska matrika je simetrična matrika.

Primeri

Primer diagonalne matrike

$D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},$

Primeri nekaterih posebnih diagonalnih matrik.

Ničelna matrika

$~0=\mathrm {diag} \,\{0,0,\dots ,0\}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}},$

ter enotska matrika

$E=\mathrm {diag} \,\{1,1,\dots ,1\}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}},$

Lastnosti

• Diagonalna matrika je simetrična, ker zanjo velja

$D^{T}=D\,$.

• Rang diagonalne matrike je enak številu neničelnih elementov, ki se nahajajo na glavni diagonali
• Determinanta diagonalne matrike je enak zmnožku elementov na glavni diagonali.

Skalarna matrika

Diagonalna matrika, ki ima na diagonali vse elemente enake, se imenuje skalarna matrika. Dobimo jo z množenjem skalarja z enotsko matriko. Primer:

${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}.$.

Inverzna matrika diagonalne

Diagonalna matrika

$\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},...,a_{k})={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&a_{k}\end{pmatrix}}$

ima inverzno obliko

$A^{-1}={\begin{pmatrix}1/a_{1}&0&\ldots &0\\0&1/a_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&1/a_{k}\end{pmatrix}}$.

Pravokotne matrike

Pojem diagonalna matrika lahko (zelo redko) razširimo tudi na pravokotne matrike, ki imajo $m\times n\,$ elementov. Dva primera takšnih matrik

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$

in

${\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}.$.

Zunanje povezave

• Diagonalna matrika na MathWorld (angleško)