Metrika

Métrika je v matematiki posplošitev pojma razdalje. Metrika podaja oddaljenost med elementi dane množice. Množici, v kateri obstaja metrika, v matematični topologiji rečemo metrični prostor.

Definicija metrike

Metrika je preslikava, ki poljubnemu paru elementov x,y iz dane množice priredi realno število d(x,y) z naslednjimi lastnostmi:

1. d(x, y) ≥ 0     (nenegativnost)
2. d(x, y) = 0, če in samo če x = y
3. d(x, y) = d(y, x)     (simetričnost)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (trikotniška neenakost)

Primeri metrik

Evklidska metrika

Običajna razdalja v evklidski geometriji je metrika. Imenujemo jo evklidska metrika, oziroma evklidska razdalja. V $n$ -razsežnem evklidskem prostoru izračunamo razdaljo med točkama A(a₁,a₂,...,a_n) in B(b₁,b₂,...,b_n) po formuli:

$d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}\!\,.$

k-ta metrika

Če v zgornji formuli nadomestimo kvadriranje s k-to potenco in kvadratni koren s k-tim korenom, dobimo k-to metriko:

$d_{k}(A,B)={\sqrt[{k}]{|a_{1}-b_{1}|^{k}+|a_{2}-b_{2}|^{k}+\cdots +|a_{n}-b_{n}|^{k}}}\!\,.$

Ta metrika izhaja iz k-te norme v vektorskem prostoru.

Diskretna metrika

Najpreprostejša (vendar ravno zato najmanj uporabna) je diskretna metrika:

• d(x,y) = 0, če je x = y
• d(x,y) = 1 v vseh ostalih primerih

Glej tudi

• metrični prostor
• razdalja
• metrika FLRW