Znamenite točke trikotnika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Znamenita točka trikotnika (tudi posebna ali značilna točka trikotnika ali središče trikotnika) je točka v ravnini, kjer se sekajo posebne premice ali tudi krožnice. Te točke imajo zanimive geometrijske lastnosti.

Prve znamenite točke trikotnika so odkrili že stari Grki, čeprav jih niso nikoli primerno definirali. Za njimi so odkrili še celo vrsto znamenitih točk trikotnika kot so Fermatova točka, simedianska točka, Feuerbachova točka, Gergonnova točka itd. Med porastom zanimanja za geometrijo trikotnika v letih 1980 so opazili, da imajo znamenite točke nekatere zanimive lastnosti, ki dandanes tvorijo osnovo definicije znamenitih točk trikotnika. Vse točke so sedaj zbrane v Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) (Enciklopedija znamenitih točk trikotnika), kjer je bilo 26.maja 2010 navedenih 3587 znamenitih točk trikotnika. Vsako od teh središč (točk) je dobilo svoje enolično ime in oznako, ki jo sestavljata X in kot indeks zaporedna številka iz Enciklopedije. Kadar pa ni bilo možno za točko dati neko zgodovinsko ali geometrijsko ime, so uporabili imena zvezd za poimenovanje posebnih točk trikotnika.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Realna funkcija  f \, treh spremenljivk  a, \text { } b, \text { }c \, ima naslednje lastnosti:

  • homogenost  f (ta, tb, tc) = t^n f(a, b, c) \, za poljubno konstanto  n \, ter za vse  t> 0 \,
  • bisimetrijo v drugi in tretji spremenljivki  f(a, \text { } b, \text { } c) = f(a, \text { }c, \text { }b) .

Kadar ima neničelna funkcija  f \, obe zgornji lastnosti, jo imenujemo funkcija znamenite točke trikotnika. Kadar je  f \, funkcija znamenite točke trikotnika in so  a, \text { } b, \text { } c dolžine stranic pripadajočega trikotnika, potem se točka, ki ima trilinearne koordinate  f(a, b, c): f(b, c, a) : f(c, a, b)  imenuje znamenita točka trikotnika.

Nekatere znane znamenite točke trikotnika[uredi | uredi kodo]

Klasične posebne točke trikotnika[uredi | uredi kodo]

mesto v
ETC
ime    oznaka    trilinearni koordinatni sistem
X1 središče včrtane krožnice I    1 : 1 : 1
X2 težišče G    bc : ca : ab
X3 središče očrtane krožnice O    cos A : cos B : cos C
X4 višinska točka H    sec A : sec B : sec C
X5 središče krožnice   devetih točk N    cos(BC) : cos(CA) : cos(AB)
X6 simedianska točka K    a : b : c
X7 Gergonnova točka Ge    bc/(b + ca) : ca/(c + ab) : ab/(a + bc)
X8 Nagelova točka Na    (b + ca)/a : (c + ab)/b: (a + bc)/c
X9 mittenpunkt M    b + ca : c + ab : a + bc
X10 Spiekerjeva točka Sp    bc(b + c) : ca(c + a) : ab(a + b)
X11 Feuerbachova točka F    1 − cos(BC) : 1 − cos(CA) : 1 − cos(AB)
X13 Fermatova točka X    csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3)     *
X15
X16
izodinamični točki S
S
   sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3)   
   sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3)
X17
X18
Napoleonove točke N
N
   sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3)   
   sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)
X99 Steinerjeva točka S    bc/(b2c2) : ca/(c2a2) : ab/(a2b2)

(*) : to je prvi izogonski center, tudi Fermatova točka, če je A,B,C ≤ 2π/3

Novejše posebne točke trikotnika[uredi | uredi kodo]

V naslednjem delu preglednice so podane novejše posebne točke trikotnika.

mesto (oznaka) v
ETC
ime funkcija znamenite točke
f(a,b,c)
X21    1/(cos B + cos C)
X22    Exeterjeva točka    a(b4 + c4a4)
X111    Parryjeva točka    a/(2a2b2c2)
X173    tan(A/2) + sec(A/2)
X174    Yff središče kongruence    sec(A/2)
X175    izoperimetrična točka    − 1 + sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2)
X179    prva Ajima–Malfattijeva točka    sec4(A/4)
X181    Apolonijeva točka    a(b + c)2/(b + ca)
X192    točka enakih vzporednic    bc(ca + abbc)
X356    Morleyjevo središče    cos(A/3) + 2 cos(B/3) cos(C/3)
X360    Hofstadterjeva točka    A/a
X401    Baileyjeva točka    [sin(2B) sin(2C) − sin2(2A)] csc A

.

Splošne oblike znamenitih točk trikotnika[uredi | uredi kodo]

Kinberlingova znamenita točka[uredi | uredi kodo]

Clark Kimberling (rojen 1942) je pripravil enciklopedijo več kot 3500 znamenitih točk trikotnika. Te točke v njegovo čast imenujemo Kimberlingove znamenite točke [1].

Polinomska znamenita točka[uredi | uredi kodo]

Znamenita točka trikotnika se imenuje polinomska znamenita točka trikotnika, če lahko trilinearne koordinate točke izrazimo kot polinom koordinat a, b in c.

Glavne znamenite točke[uredi | uredi kodo]

Znamenita točka trikotnika se imenuje glavna znamenita točka trikotnika, če lahko trilinearne koordinate izrazimo v obliki  f(A) : f(B): f(C) tako, da je  f(A) funkcija vrednosti A. Podobno velja za  f(B) in  f(C) [2]

Običajne znamenite točke[uredi | uredi kodo]

Znamenita točka trikotnika se imenuje običajna znamenita točka trikotnika, kadar trilinearne koordinate lahko izrazimo kot polinome vrednosti Δ, a, b in c, kjer je Δ ploščina trikotnika

Transcendentne znamenite točke[uredi | uredi kodo]

Znamenita točka trikotnika je transcendentna znamenita točka, če točke ne moremo predstaviti s trilinearnimi koordinatami oziroma samo z uporabo algebrskih funkcij za  (a, \text { } b, \text { }c) \,.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]