Zakon o električnem pretoku

Gaussov zakon o električnem pretoku, znotraj teorije vektorskih polj, trdi, da imajo vektorska polja električni pretok, skozi zaprto ploskev, ki je odvisen od nabojev, ki ustvarjajo električno polje, ne pa od njihove lokacije v sistemu.

Zakon bomo izrazili v integralski obliki, sicer bi ga lahko tudi v diferencialni, ki je z integralsko povezana z Ostrogadsky izrekom.

Opis[uredi | uredi kodo]

Intuitivno ideja je bila, da je pretok vedno enak, ne glede na zaprto površino, ki vsebuje izvor radialnega vektorskega polja, saj pri večanju razdalje $r$ površina poveča za $r^{2}$ , jakost polja pa se zmanjšuje za $r^{-2}$ . Nespremenljivost pretoka je ravno ključ za Gausov zakon.

Posledice Gaussovega zakona na teorije fizike so izredno pomembne, saj zakon zadeva gravitacijska in električna polja: v prvem primeru je gravitacijski pretok skozi zaprto površino odvisen le od mase v njej, v drugem pa je električni pretok skozi zaprto površino odvisen od električnega naboja v njej.

Integralska oblika[uredi | uredi kodo]

Naj bo $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ vektorsko polje, definirano kot:

\mathbf {F} =F_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}

,

kjer je $F_{1}$ konstanten v $\mathbf {r}$ , krajevni vektor, ki na splošno pripada $\mathbb {R} ^{3}$ .

Razpolagamo z zaprto površino $\partial V$ , ki vsebuje izvor polja in je taka, da vsak poltrak, ki izhaja iz izvora polja, seka zaprto površino samo enkrat. V tem primeru Gaussov zakon trdi sledeče:

\Phi _{\partial V}(\mathbf {F} )=4\pi F_{1}

,

kjer je $\Phi _{\partial V}(\mathbf {F} )$ pretok $\mathbf {F}$ pod prostorskim kotom $4\pi$ .

Dokaz[uredi | uredi kodo]

Razpolagamo z virom energije $q$ v prostornini $V$ , ki jo omejuje površina $\partial V$ . Polje $F_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$ , ki se je ustvarilo z virom energije ustvarilo, oblikuje, z elementom ${\mbox{d}}S$ na površini $\partial V$ kot $\theta$ , tako da:

(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S={\frac {F_{1}\cos \theta }{r^{2}}}{\mbox{d}}S

kjer je $\mathbf {n}$ enotski vektor na podlago.

Ker je prostorski kot, ki ga obravnavamo ${\mbox{d}}\Omega ={\frac {\cos \theta }{r^{2}}}{\mbox{d}}S$ , potem:

(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S=F_{1}{\mbox{d}}\Omega

Pretok skozi površino $\partial V$ je torej:

\Phi _{\partial V}(\mathbf {F} )=\int _{\partial V}(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ){\mbox{d}}S=F_{1}\int _{V}{\mbox{d}}\Omega

,

pri čemer je integral prostorskega kota enak $4\pi$ .

Bibliografija[uredi | uredi kodo]

Mencuccini, Corrado (2010). Fisica II. Napoli: Liguori Editore. ISBN 978-88-207-1633-2.
John D Jackson (1999). Classical Electrodynamics (3 izd.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]