Vedski kvadrat

Védski kvadrát je v starodavni indijski matematiki različica tipične razpredelnice množenja 9 × 9 v obliki kvadrata. V vsaki celici je številčni koren produkta pripadajoče glave stolpca in vrstice, oziroma ostanek, če se produkt pripadajoče glave stolpca in vrstice deli z 9. Pri tem je ostanek 0 zapisan z 9.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

V vedskem kvadratu se lahko opazi več geometričnih vzorcev in simetrij. Nekatere od njih se lahko najde v tradicionalni islamski umetnosti.^[1]

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

Dvojiški vedski kvadrat

	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001
0001	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001
0010	0010	0100	0110	1000	0001	0011	0101	0111	1001
0011	0011	0110	1001	0011	0110	1001	0011	0110	1001
0100	0100	1000	0011	0111	0010	0110	0001	0101	1001
0101	0101	0001	0110	0010	0111	0011	1000	0100	1001
0110	0110	0011	1001	0110	0011	1001	0110	0011	1001
0111	0111	0101	0011	0001	1000	0110	0100	0010	1001
1000	1000	0111	0110	0101	0100	0011	0010	0001	1001
1001	1001	1001	1001	1001	1001	1001	1001	1001	1001

Algebrske značilnosti

Če se zanemari deveti stolpec in deveto vrstico, (kjer so same devetice), se dobi monoid $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$ , kjer je $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$ množica pozitivnih celih števil, razdeljena po razredih ostankov modulo devet. Operator $\circ$ pomeni tudi abstraktno »množenje« med elementi tega monoida. Če sta $a,b$ elementa $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$ , se lahko $a\circ b$ opredeli kot $(a\times b)\mod {9}$ s pomočjo operatorja modulo mod, kjer se vzame element 9 kot predstavnik razreda ostanka 0 namesto tradicionalne izbire 0.

$((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$ ne tvori grupe, ker vsak neničelni element nima ustreznega inverznega elementa. Velja na primer $8\circ 3=6$ , vendar ni elementa $a\in \{1,\cdots ,9\}$ , da bi veljalo $6\circ a=8.$ . To je zato, ker 9 ni praštevilo. 3 in 6, ki nista tuji 9, nista v multiplikativni grupi celih števil modulo 9.

Če se obravnava podmnožico $\{1,2,4,5,7,8\}$ , ta tvori grupo. Tvori ciklično grupo 2 kot ena izbira generatorja. V bistvu je to samo grupa multiplikativnih enot v kolobarju $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$ .

$\circ$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Vidi se lahko, da ima vsak stolpec in vrstica vseh šest celic. To kaže, da $\{1,2,4,5,7,8\}$ tvori latinski kvadrat.

$\circ$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Glej tudi

Sklici

↑ Pritchard (2003), str. 119–122.

Viri

Deskins, W. E. (1996), Abstract Algebra, New York: Dover, str. 162–167, ISBN 0486688887
Pritchard, Chris (2003), The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching, Great Britain: Cambridge University Press, str. 119–122, ISBN 0521531624
Talal, Ghannam (2012), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, str. 68–73, ISBN 978-1477678411

Ta matematični članek je škrbina. Pomagajte Wikipediji in ga razširite.

[pritchard_2003-1] Pritchard (2003), str. 119–122.

[1]