Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Trikotna porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za trikotno porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za trikotno porazdelitev.
parametri
a
:
a
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle a:~a\in (-\infty ,\infty )}
b
:
b
>
a
{\displaystyle b:~b>a\,}
c
:
a
≤
c
≤
b
{\displaystyle c:~a\leq c\leq b\,}
interval
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b\!}
funkcija gostote verjetnosti
{
2
(
x
−
a
)
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
za
a
≤
x
<
c
2
b
−
a
za
x
=
c
2
(
b
−
x
)
(
b
−
a
)
(
b
−
c
)
za
c
<
x
≤
b
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{za }}a\leq x<c\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{za }}x=c\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{za }}c<x\leq b\end{cases}}}
zbirna funkcija verjetnosti
{
(
x
−
a
)
2
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
za
a
≤
x
<
c
c
−
a
b
−
a
za
x
=
c
1
−
(
b
−
x
)
2
(
b
−
a
)
(
b
−
c
)
za
c
<
x
≤
b
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{za }}a\leq x<c\\[4pt]{\frac {c-a}{b-a}}&{\text{za }}x=c\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{za }}c<x\leq b\end{cases}}}
pričakovana vrednost
a
+
b
+
c
3
{\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}
mediana
{
a
+
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
2
za
c
≥
a
+
b
2
b
−
(
b
−
a
)
(
b
−
c
)
2
za
c
≤
a
+
b
2
{\displaystyle {\begin{cases}a+{\frac {\sqrt {(b-a)(c-a)}}{\sqrt {2}}}&{\text{za }}c\!\geq \!{\frac {a\!+\!b}{2}}\\&\\b-{\frac {\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {2}}}&{\text{za }}c\!\leq \!{\frac {a\!+\!b}{2}}\end{cases}}}
modus
c
{\displaystyle c\,}
varianca
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
a
c
−
b
c
18
{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}
simetrija
2
(
a
+
b
−
2
c
)
(
2
a
−
b
−
c
)
(
a
−
2
b
+
c
)
5
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
a
c
−
b
c
)
3
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}
sploščenost
−
3
5
{\displaystyle -{\frac {3}{5}}}
entropija
1
2
+
ln
(
b
−
a
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}
funkcija generiranja momentov
2
(
b
−
c
)
e
a
t
−
(
b
−
a
)
e
c
t
+
(
c
−
a
)
e
b
t
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
b
−
c
)
t
2
{\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}
karakteristična funkcija
−
2
(
b
−
c
)
e
i
a
t
−
(
b
−
a
)
e
i
c
t
+
(
c
−
a
)
e
i
b
t
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
b
−
c
)
t
2
{\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}
Trikotna porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev . Ime ima po značilni obliki funkcije gostote verjetnosti. Slučajna spremenljivka, ki je porazdeljena po trikotni porazdelitvi, lahko zavzame vrednosti, ki so večje od neke konstante (parameter a) in manjše od neke druge konstantne vrednosti (parameter b). Pri tem pa je modus porazdelitve enak tretji konstantni vrednosti (parameter c)
Funkcija gostote verjetnosti [ uredi | uredi kodo ] Funkcija gostote verjetnosti za trikotno porazdelitev je
f
(
x
|
a
,
b
,
c
)
=
{
2
(
x
−
a
)
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
za
a
≤
x
<
c
2
b
−
a
za
x
=
c
2
(
b
−
x
)
(
b
−
a
)
(
b
−
c
)
za
c
<
x
≤
b
0
za vse ostale vrednosti
{\displaystyle f(x|a,b,c)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{za }}a\leq x<c\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{za }}x=c\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{za }}c<x\leq b\\[4pt]0&{\text{za vse ostale vrednosti}}\end{cases}}}
Zbirna funkcija verjetnosti [ uredi | uredi kodo ] Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
{
(
x
−
a
)
2
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
za
a
≤
x
<
c
c
−
a
b
−
a
za
x
=
c
1
−
(
b
−
x
)
2
(
b
−
a
)
(
b
−
c
)
za
c
<
x
≤
b
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{za }}a\leq x<c\\[4pt]{\frac {c-a}{b-a}}&{\text{za }}x=c\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{za }}c<x\leq b\end{cases}}}
Pričakovana vrednost je enaka
a
+
b
+
c
3
{\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}
Varianca je enaka
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
a
c
−
b
c
18
{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}
Sploščenost je
−
3
5
{\displaystyle -{\frac {3}{5}}}
Koeficient simetrije je enak
2
(
a
+
b
−
2
c
)
(
2
a
−
b
−
c
)
(
a
−
2
b
+
c
)
5
(
a
2
+
b
2
+
c
2
−
a
b
−
a
c
−
b
c
)
3
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}
Funkcija generiranja momentov [ uredi | uredi kodo ] Funkcija generiranja momentov je
2
(
b
−
c
)
e
a
t
−
(
b
−
a
)
e
c
t
+
(
c
−
a
)
e
b
t
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
b
−
c
)
t
2
{\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}
Karakteristična funkcija je
−
2
(
b
−
c
)
e
i
a
t
−
(
b
−
a
)
e
i
c
t
+
(
c
−
a
)
e
i
b
t
(
b
−
a
)
(
c
−
a
)
(
b
−
c
)
t
2
{\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}
Povezave z drugimi porazdelitvami [ uredi | uredi kodo ] Če sta
X
{\displaystyle X\!}
Y
{\displaystyle Y\!}
slučajni spremenljivki , ki sta porazdeljeni po enakomerni zvezni porazdelitvi , potem je slučajna spremenljivka
Y
=
X
1
+
X
2
2
{\displaystyle Y={\frac {X_{1}+X_{2}}{2}}\!}
a
=
0
{\displaystyle a=0\!}
b
=
1
{\displaystyle b=1\!}
c
=
1
/
2
{\displaystyle c=1/2\!}
Če sta
X
{\displaystyle X\!}
Y
{\displaystyle Y\!}
slučajni spremenljivki , ki sta porazdeljeni po enakomerni zvezni porazdelitvi , potem je slučajna spremenljivka
|
Y
=
X
1
−
X
2
|
{\displaystyle \left|Y=X_{1}-X_{2}\right|\!}
a
=
0
{\displaystyle a=0\!}
b
=
1
{\displaystyle b=1\!}
c
=
0
{\displaystyle c=0\!}
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{za }}a\leq x<c\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{za }}x=c\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{za }}c<x\leq b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c12f2cca7d6449b2379daafd07b5231afc5491)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{za }}a\leq x<c\\[4pt]{\frac {c-a}{b-a}}&{\text{za }}x=c\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{za }}c<x\leq b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9b2c5e563f830c3f3aea39540277164c578d87)
![{\displaystyle f(x|a,b,c)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{za }}a\leq x<c\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{za }}x=c\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{za }}c<x\leq b\\[4pt]0&{\text{za vse ostale vrednosti}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1418f297665bb82dae931c3ecc4a83481d3e6529)
