Sylvestrovo zaporedje

Grafična predstavitev konvergence vsote 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + ... k 1. Skupna ploščina vsake vrstice k kvadratov s stranicami 1/k je 1/k, vsi kvadrati skupaj pa eksaktno pokrijejo večji kvadrat s ploščino enako 1. Kvadrati s stranicami 1/1807 ali manjšimi so premajhni in na sliki niso prikazani.

Sylvestrovo zaporedje je v teoriji števil celoštevilsko zaporedje, kjer je vsak člen zaporedja zmnožek prejšnjih členov in kjer mu prištejemo število 1. Splošni člen je dan kot:

$s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}\,\!.$

Po dogovoru je produkt prazne množice enak 1 in je prvi člen zaporedja s₀ = 2. Zaporedje je prvi raziskoval James Joseph Sylvester leta 1880. Prvi členi zaporedja so (OEIS A000058):

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443.

Členi zaporedja se imenujejo tudi Evklidova števila. Če je i < j, iz definicije sledi, da je s_j ≡ 1 (mod s_i). Zaradi tega sta poljubna člena tuji števili. Z zaporedjem lahko dokažemo, da obstaja neskončno mnogo praštevil, saj lahko vsako praštevilo deli le eno število iz zaporedja.

Zaporedje lahko definiramo tudi z rekurenčno enačbo:

$\displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1\,\!.$

S popolno indukcijo je moč neposredno pokazati, da je enačba istovetna prvi definiciji.

V zvezi s Sylvestrovim zaporedjem je odprti problem ali so vsi njegovi členi deljivi brez kvadrata?

Glej tudi

• Cahenova konstanta
• Higgsovo praštevilo
• primarno psevdopopolno število
• Známov problem

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Sylvester's Sequence«. MathWorld.