Stokesov izrek

Prikaz Stokesovega izreka. Ploskev $\Sigma \!\,$ ima mejo $\partial \Sigma \!\,$ in normalni vektor $\mathbf {\hat {n}} \!\,$. Pozitivna smer okrog meje in pozitivna normalna smer sta povezani s pravilom desne roke.

Stokesov izrek, znan tudi kot Kelvin-Stokesov izrek, je izrek v vektorskem računu, ki povezuje obnašanje vektorskega polja vzdolž roba ploskve z obnašanjem njegovega rotorja na sami ploskvi. V svoji običajni trirazsežni obliki pravi, da je celotna cirkulacija vektorskega polja okrog zaprte krivulje enaka celotnemu rotorju polja skozi ploskev, ki jo ta krivulja omejuje.

Če je $\Sigma \!\,$ usmerjena ploskev z mejo $\partial \Sigma \!\,$, se Stokesov izrek običajno zapiše kot:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {\vec {F}} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {\vec {r}} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} )\cdot \mathbf {\hat {n}} \,\operatorname {d} \!S\!\,.$

Tukaj je leva stran krivuljni integral vektorskega polja okrog mejne krivulje, desna stran pa ploskovni integral njegovega rotorja nad ploskvijo. Neformalno izrek pravi, da seštevanje krajevnega zasuka vektorskega polja čez ploskev da neto cirkulacijo okrog njenega roba.

Izrek se imenuje tudi osnovni izrek za rotorje ali izrek o rotorju. Je poseben primer posplošenega Stokesovega izreka. V jeziku diferencialnih form vektorsko polje ustreza 1-formi, njegov rotor pa zunanjemu odvodu te forme.

Izrek

Naj je $\Sigma \!\,$ gladka usmerjena ploskev v $\mathbb {R} ^{3}\!\,$, parametrizirana z $\mathbf {\vec {\Sigma }} (u,v)\!\,$, z mejo $\partial \Sigma \equiv \Gamma \!\,$, parametrizirano z $\mathbf {\vec {\Gamma }} (t)\!\,$. Če ima vektorsko polje:

$\mathbf {\vec {F}} (x,y,z)=(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z))\!\,$

zvezne parcialne odvode prvega reda v $\Sigma \!\,$, potem je:

$\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} )\cdot \operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Sigma }} =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {\vec {F}} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Gamma }} \!\,$

z okrajšavami za dolžinski element $\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Gamma }} ={\frac {\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Gamma }} }{\operatorname {d} \!t}}\operatorname {d} \!t\!\,$ in ploskovni element:

$\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Sigma }} =\mathbf {\hat {n}} \operatorname {d} \!\Sigma =\left({\frac {\partial \mathbf {\vec {\Sigma }} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {\vec {\Sigma }} }{\partial v}}\right)\,\operatorname {d} \!u\operatorname {d} \!v\!\,,$

kjer je $\mathbf {\hat {n}} (u,v)\!\,$ vektor ortogonalen na ploskev v točki $\mathbf {\vec {\Sigma }} (u,v)\!\,$.

Enakost se lahko izrazi z diferencialnimi formami, kjer je $\wedge$ zunanji produkt in $\operatorname {d} \!\!\,$ zunanji odvod:

${\begin{aligned}&\iint _{\Sigma }\left(\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\,\operatorname {d} \!y\wedge \operatorname {d} \!z+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\,\operatorname {d} \!z\wedge \operatorname {d} \!x+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\,\operatorname {d} \!x\wedge \operatorname {d} \!y\right)\\&=\oint _{\partial \Sigma }{\Bigl (}F_{x}\,\operatorname {d} \!x+F_{y}\,\operatorname {d} \!y+F_{z}\,\operatorname {d} \!z{\Bigr )}\!\,.\end{aligned}}$

Glavni izziv pri natančni izjavi Stokesovega izreka je definiranje pojma meje. Ploskve, kot je na primer Kochova snežinka, so dobro znane po tem, da ne kažejo meje integrabilne po Riemannu, pojma ploskovne mere v Lebesguovi teoriji pa ni mogoče definirati za nelipschitzovo ploskev. Ena (naprednejša) tehnika je prehod na šibko formulacijo in nato raba mehanizma geometrijske teorije mere – za ta pristop glej formulo kopovršin. V tem članku se namesto tega rabi bolj osnovno definicijo, ki temelji na dejstvu, da je mejo mogoče razločiti za polnorazsežne podmnožice $\mathbb {R} ^{2}\!\,$.

Podrobnejša izjava bo podana za nadaljnje razprave. Naj je $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\!\,$ po delih gladka Jordanova ravninska krivulja – enostavna zaprta krivulja v ravnini. Jordanov krivuljni izrek pomeni, da $\gamma \!\,$ deli $\mathbb {R} ^{2}\!\,$ na dve komponenti, kompaktno in nekompaktno. Naj $D\!\,$ označuje kompaktni del – potem je $D\!\,$ omejen z $\gamma \!\,$. Sedaj zadostuje, da se ta pojem meje vzdolž zvezne preslikave prenesemo na to ploskev v $\mathbb {R} ^{3}\!\,$. Vendar takšna preslikava že obstaja – parametrizacija $\Sigma \!\,$.

Naj je $\psi \colon D\to \mathbb {R} ^{3}\!\,$ po delih gladka okolica of $D\!\,$, z $\Sigma =\psi (D)\!\,$. Če je $\Gamma \!\,$ prostorska krivulja definirana z $\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))\!\,$, potem se $\Gamma \!\,$ imenuje meja $\Sigma \!\,$, zapisano kot $\partial \Sigma \!\,$.

Z zgornjim zapisom, če je $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ poljubno gladko vektorsko polje na $\mathbb {R} ^{3}\!\,$, potem je:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {\vec {F}} \,\cdot \,\operatorname {d} \!{\mathbf {\vec {\Gamma }} }=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \,\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Sigma }} \!\,.$

Tukaj »$\cdot \!\,$« predstavlja skalarni produkt v $\mathbb {R} ^{3}\!\,$.

Posebni primer splošnejšega izreka

Stokesov izrek se lahko obravnava kot posebni primer naslednje identitete:

$\oint _{\partial \Sigma }(\mathbf {\vec {F}} \,\cdot \,\operatorname {d} \!{\mathbf {\vec {\Gamma }} })\,\mathbf {\vec {g}} =\iint _{\Sigma }\left[\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Sigma }} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} -\mathbf {\vec {F}} \times \nabla \right)\right]\mathbf {\vec {g}} \!\,,$

kjer je $\mathbf {\vec {g}} \!\,$ poljubno gladko skalarno ali vektorsko polje v $\mathbb {R} ^{3}\!\,$. Kadar je $\mathbf {\vec {g}} \!\,$ uniformno skalarno polje, izhaja standardni Stokesov izrek.

Dokaz

Dokaz izreka je sestavljen iz 4 korakov. Predpostavlja se Greenov izrek, zato se zanima, kako trirazsežni zapleteni problem (Stokesov izrek) zreducirati na dvorazsežni rudimentarni problem (Greenov izrek). Pri dokazovanju tega izreka matematiki običajno sklepajo nanj kot na poseben primer splošnejšega rezultata, ki je izražen v diferencialnih formah in dokazan z uporabo bolj sofisticiranih orodij. Čeprav so te tehnike zmogljive, zahtevajo precejšnje predznanje, zato se jim spodnji dokaz izogiba in ne predpostavlja nobenega znanja, ki presega poznavanje osnovnega vektorskega računa in linearne algebre. Na koncu tega razdelka je podan kratek alternativni dokaz Stokesovega izreka kot posledica posplošenega Stokesovega izreka.

Elementarni dokaz

Prvi korak elementarnega dokaza (parametrizacija integrala)

Kot v razdelku § Izrek se naj zmanjša razsežnost z rabo naravne parametrizacije ploskve. Naj bosta $\psi \!\,$ in $\gamma \!\,$ kot v tem razdelku in upošteva se, da je z zamenjavo spremenljivk:

$\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {x}} )\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Gamma }} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(\mathbf {\vec {\gamma }} ))\cdot \,\operatorname {d} \!{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(\mathbf {\vec {\gamma }} )}=\oint _{\gamma }{\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(\mathbf {\vec {y}} ))\cdot J_{\mathbf {\vec {y}} }({\boldsymbol {\vec {\psi }}})\,\operatorname {d} \!\gamma }\!\,,$

kjer je $J_{\mathbf {\vec {y}} }({\boldsymbol {\vec {\psi }}})\!\,$ Jacobijeva matrika $\psi \!\,$ v $y=\gamma (t)\!\,$.

Naj je sedaj $\{\mathbf {\hat {e}} _{u},\mathbf {\hat {e}} _{v}\}\!\,$ ortonormalna baza v koordinatnih smereh $\mathbb {R} ^{2}\!\,$.

Glede na to, da so stolpci $J_{\mathbf {\vec {y}} }({\boldsymbol {\vec {\psi }}})\!\,$ natančno parcialni odvodi $\psi \!\,$ pri $y\!\,$, se lahko prejšnjo enačbo razširi v koordinatah kot:

${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {x}} )\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Gamma }} }&=\oint _{\gamma }{\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(\mathbf {\vec {y}} ))\cdot J_{\mathbf {\vec {y}} }({\boldsymbol {\vec {\psi }}})\mathbf {\hat {e}} _{u}(\mathbf {\hat {e}} _{u}\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {y}} )+\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(\mathbf {\vec {y}} ))\cdot J_{\mathbf {\vec {y}} }({\boldsymbol {\vec {\psi }}})\mathbf {\hat {e}} _{v}(\mathbf {\hat {e}} _{v}\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {y}} )}\\&=\oint _{\gamma }{\left(\left(\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(\mathbf {\vec {y}} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}(\mathbf {\vec {y}} )\right)\mathbf {\hat {e}} _{u}+\left(\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(\mathbf {\vec {y}} ))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}(\mathbf {\vec {y}} )\right)\mathbf {\hat {e}} _{v}\right)\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {y}} }\!\,.\end{aligned}}$

Drugi korak elementarnega dokaza (definiranje kodiferenciala)

Prejšnji korak predlaga, da se definira funkcijo:

$\mathbf {\vec {P}} (u,v)=\left(\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}(u,v)\right)\mathbf {\hat {e}} _{u}+\left(\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}(u,v)\right)\mathbf {\hat {e}} _{v}\!\,.$

Če sta sedaj skalarni funkciji $P_{u}\!\,$ in $P_{v}\!\,$ definirani na naslednji način:

${P_{u}}(u,v)=\left(\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}(u,v)\right)\!\,,$

${P_{v}}(u,v)=\left(\mathbf {\vec {F}} ({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v))\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}(u,v)\right)\!\,,$

potem je:

$\mathbf {\vec {P}} (u,v)={P_{u}}(u,v)\mathbf {\hat {e}} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {\hat {e}} _{v}\!\,.$

To je kodiferencial vektorskega polja $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ vzdolž $\psi \!\,$ in glede na zgoraj navedeno izpolnjuje:

$\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {\vec {F}} (\mathbf {\vec {x}} )\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {l}} }=\oint _{\gamma }{\mathbf {\vec {P}} (\mathbf {\vec {y}} )\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {l}} }=\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {\hat {e}} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {\hat {e}} _{v})\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {l}} }\!\,.$

Eno stran Stokesovega izreka se je uspešno zreduciralo na dvorazsežno formulo – zdaj pa sledi druga stran.

Tretji korak elementarnega dokaza (druga enačba)

Najprej se izračuna parcialne odvode, ki se pojavljajo v Greenovem izreku, s pomočjo pravila produkta:

${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {\vec {F}} \circ {\boldsymbol {\vec {\psi }}})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}+(\mathbf {\vec {F}} \circ {\boldsymbol {\vec {\psi }}})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v\,\partial u}},\\[5pt]{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}&={\frac {\partial (\mathbf {\vec {F}} \circ {\boldsymbol {\vec {\psi }}})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}+(\mathbf {\vec {F}} \circ {\boldsymbol {\vec {\psi }}})\cdot {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u\,\partial v}}\!\,.\end{aligned}}$

Prikladno je, da drugi člen v razliki izgine zaradi enakosti mešanih parcialnih odvodov. Torej:

${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial (\mathbf {\vec {F}} \circ {\boldsymbol {\vec {\psi }}})}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}-{\frac {\partial (\mathbf {\vec {F}} \circ {\boldsymbol {\vec {\psi }}})}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\psi }}}{\partial v}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}\cdot (J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} ){\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}&&{\text{(odvod kompozituma)}}\\[5pt]&={\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}\cdot \left(J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} -{(J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} )}^{\top }\right){\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}\!\,.\end{aligned}}$

Sedaj se pogleda matrika v kvadratni obliki – to je $J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} -(J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} )^{\top }\!\,$. Trdi se, da ta matrika dejansko opisuje vektorski produkt. Tukaj nadpisni simbol »${}^{\top }\!\,$« predstavlja transponiranje matrik.

Natančneje, naj je $A=(A_{ij})_{ij}\!\,$ poljubna matrika $3\times 3\!\,$ in naj je:

$\mathbf {\vec {a}} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}}\!\,$.

Pri tem se upošteva, da je $\mathbf {\vec {x}} \mapsto \mathbf {\vec {a}} \times \mathbf {\vec {x}} \!\,$ linearna funkcija, zato jo določa njeno delovanje na bazne elemente. Z neposrednim izračunom pa je:

${\begin{aligned}\left(A-A^{\top }\right)\mathbf {\hat {e}} _{1}&={\begin{bmatrix}0\\a_{3}\\-a_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {\vec {a}} \times \mathbf {\hat {e}} _{1}\\\left(A-A^{\top }\right)\mathbf {\hat {e}} _{2}&={\begin{bmatrix}-a_{3}\\0\\a_{1}\end{bmatrix}}=\mathbf {\vec {a}} \times \mathbf {\hat {e}} _{2}\\\left(A-A^{\top }\right)\mathbf {\hat {e}} _{3}&={\begin{bmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {\vec {a}} \times \mathbf {\hat {e}} _{3}\!\,.\end{aligned}}$

Tu $\{\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}\}\!\,$ predstavlja ortonormalno bazo v koordinatnih smereh $\mathbb {R} ^{3}\!\,$.

Tako je $(A-A^{\top })\mathbf {\vec {x}} =\mathbf {\vec {a}} \times \mathbf {\vec {x}} \!\,$ za poljubni $\mathbf {\vec {x}} \!\,$.

Če se za $A\!\,$ nadomesti $\left(J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} \right)\!\,$, se dobi:

$\left(\left(J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} \right)-\left(J_{{\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)}\mathbf {\vec {F}} \right)^{\top }\right)\mathbf {\vec {x}} =\left(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \right)\times \mathbf {\vec {x}} ,\quad {\text{za vse }}\,\mathbf {\vec {x}} \in \mathbb {R} ^{3}\!\,.$

Sedaj se lahko prepozna razliko parcialnih odvodov kot (skalarni) mešani produkt:

${\begin{aligned}{\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}\cdot \left(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \right)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}=\left(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}\!\,.\end{aligned}}$

Po drugi strani pa definicija ploskovnega integrala vključuje tudi mešani produkt – prav tega:

${\begin{aligned}\iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \right)\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Sigma }} &=\iint _{D}\left(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \right)\left({\boldsymbol {\vec {\psi }}}(u,v)\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial {\boldsymbol {\vec {\psi }}}}{\partial v}}(u,v)\,\operatorname {d} \!u\,\operatorname {d} \!v\!\,.\end{aligned}}$

Tako je:

$\iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \right)\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Sigma }} =\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\operatorname {d} \!u\,\operatorname {d} \!v\!\,.$

Četrti korak elementarnega dokaza (redukcija na Greenov izrek)

Z združitvijo drugega in tretjega koraka ter nato z rabo Greenovega izreka je dokaz zaključen. Greenov izrek trdi naslednje: za poljubno območje $D\!\,$, omejeno z Jordanovo zaprto krivuljo $\gamma \!\,$ in dvema gladkima skalarnima funkcijama $P_{u}(u,v)\!\,$ in $P_{v}(u,v)\!\,$, definirani na $D\!\,$:

$\oint _{\gamma }{({P_{u}}(u,v)\mathbf {\hat {e}} _{u}+{P_{v}}(u,v)\mathbf {\hat {e}} _{v})\cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {l}} }=\iint _{D}\left({\frac {\partial P_{v}}{\partial u}}-{\frac {\partial P_{u}}{\partial v}}\right)\,\operatorname {d} \!u\,\operatorname {d} \!v\!\,.$

Zaključek drugega koraka se lahko nadomesti na levi strani Greenovega izreka zgoraj, zaključek tretjega koraka pa na desni strani. $\blacksquare \!\,$

Dokaz prek diferencialnih form

Funkcije $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\!\,$ se lahko identificirajo z diferencialnimi 1-formami na $\mathbb {R} ^{3}\!\,$ prek preslikave:

$F_{x}\mathbf {\hat {e}} _{1}+F_{y}\mathbf {\hat {e}} _{2}+F_{z}\mathbf {\hat {e}} _{3}\mapsto F_{x}\,\operatorname {d} \!x+F_{y}\,\operatorname {d} \!y+F_{z}\,\operatorname {d} \!z\!\,.$

Zapišimo Diferencialno 1-formo, povezano s funkcijo $\mathbf {\vec {F}} \!\,$, se zapiše kot kot $\omega _{\mathbf {\vec {F}} }\!\,$. Potem se lahko izračuna, da je:

$\star \omega _{\nabla \times \mathbf {\vec {F}} }=\operatorname {d} \!\omega _{\mathbf {\vec {F}} }\!\,,$

kjer je $\star \!\,$ Hodgeev operator zvezdica, $\operatorname {d} \!\!\,$ pa je zunanji odvod. Tako po posplošenem Stokesovem izreku sledi:

$\oint _{\partial \Sigma }{\mathbf {\vec {F}} \cdot \,\operatorname {d} \!{\boldsymbol {\vec {\gamma }}}}=\oint _{\partial \Sigma }{\omega _{\mathbf {\vec {F}} }}=\int _{\Sigma }{\operatorname {d} \!\omega _{\mathbf {\vec {F}} }}=\int _{\Sigma }{\star \omega _{\nabla \times \mathbf {\vec {F}} }}=\iint _{\Sigma }{\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \cdot \,\operatorname {d} \!\mathbf {\vec {\Sigma }} }\!\,.$ $\blacksquare \!\,$

Rabe

Brezvrtinčna polja

V tem razdelku se bo obravnavalo brezvrtinčno polje (lamelarno vektorsko polje) na podlagi Stokesovega izreka.

Definicija 2-1 (brezvrtinčno polje)—gladko vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ na odprti množici $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}\!\,$ je brezvrtinčno (lamelarno vektorsko polje), če je $\nabla \times \mathbf {\vec {F}} =0\!\,$.

Ta koncept je v mehaniki zelo temeljen – kot se bo kasneje dokazalo, če je $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ brezvrtinčno in je domena $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ enostavno povezana, potem je $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ konservativno vektorsko polje.

Helmholtzev izrek

V tem razdelku se bo predstavil izrek, ki izhaja iz Stokesovega izreka in opisuje brezvrtinčna vektorska polja. V klasični mehaniki in dinamiki tekočin se imenuje Helmholtzev izrek.

Izrek 2-1 (Helmholtzev izrek v dinamiki tekočin)—naj je $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}\!\,$ odprta podmnožica z lamelarnim vektorskim poljem $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ in naj sta $c_{0},c_{1}\colon [0,1,]\to U\!\,$ po delih gladki zanki. Če obstaja funkcija $H\colon [0,1]\times [0,1]\to U\!\,$, za katero velja:

• [TLH0] $H\!\,$ je po delih gladka,
• [TLH1] $H(t,0)=c_{0}(t)\ {\text{za vse }}t\in [0,1]\!\,$,
• [TLH2] $H(t,1)=c_{1}(t)\ {\text{za vse }}t\in [0,1]\!\,$
• [TLH3] $H(0,s)=H(1,s)\ {\text{za vse }}s\in [0,1]\!\,$.

Potem je:

$\int _{c_{0}}\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!c_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!c_{1}\!\,.$

Nekateri učbeniki, kot je Conlon, imenujejo razmerje med $c_{0}\!\,$ in $c_{1}\!\,$, navedeno v izreku 2-1, »homotopsko«, funkcijo ${\displaystyle H\colon$ :[0,1]\times [0,1]\to U\!\,} pa »homotopijo med $c_{0}\!\,$ in $c_{1}\!\,$. Vendar pa sta »homotopska« ali »homotopija« v zgoraj omenjenem smislu drugačni (močnejši od) tipičnih definicij »homotopske« ali »homotopije« – slednje pogoj izpuščajo [TLH3]. Zato se od zdaj naprej na homotopijo (homotop) v smislu izreka 2-1 nanaša kot na cevasto homotopijo (oziroma cevasto homotopsko).

Dokaz Helmholtzevega izreka

Definicije $\gamma _{1}(t),\ldots ,\gamma _{4}(s)\!\,$.

V nadaljevanju se zlorabi zapis in rabi »$\oplus \!\,$« za spojitev poti v fundamentalnem grupoidu in »$\ominus \!\,$« za obračanje usmerjenosti poti.

Naj je $D=[0,1]\times [0,1]\!\,$ in naj se $\partial D\!\,$ razdeli na štiri dolžinske elemente $\gamma _{j}\!\,$:

${\begin{aligned}\gamma _{1}\colon [0,1]\to D;\quad &\gamma _{1}(t)=(t,0),\\\gamma _{2}\colon [0,1]\to D;\quad &\gamma _{2}(s)=(1,s),\\\gamma _{3}\colon [0,1]\to D;\quad &\gamma _{3}(t)=(1-t,1),\\\gamma _{4}\colon [0,1]\to D;\quad &\gamma _{4}(s)=(0,1-s)\!\,,\end{aligned}}$

tako, da je:

$\partial D=\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4}\!\,.$

Ob predpostavki, da sta $c_{0}\!\,$ in $c_{1}\!\,$ po delih gladki homotopski, obstaja po delih gladka homotopija $H\colon D\to M\!\,$:

${\begin{aligned}\Gamma _{i}(t)&=H(\gamma _{i}(t))&&i=1,2,3,4\\\Gamma (t)&=H(\gamma (t))=\left(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4}\right)(t)\!\,.\end{aligned}}$

Naj je $S\!\,$ slika $D\!\,$ pod $H\!\,$. To pomeni, da:

$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!S=\oint _{\Gamma }\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!\Gamma \!\,$

sledi neposredno iz Stokesovega izreka. Vektorsko polje $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ je lamelarno, zato je leva stran enaka nič, to je:

$0=\oint _{\Gamma }\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!\Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!\Gamma \!\,.$

Ker je $H\!\,$ cevasta (zadošča pogoju [TLH3]), je $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}\!\,$ in $\Gamma _{2}=\ominus \Gamma _{4}\!\,$. Tako se krivuljna integrala vzdolž $\Gamma _{2}(s)\!\,$ in $\Gamma _{4}(s)\!\,$ med seboj izničita, kar pomeni:

$0=\oint _{\Gamma _{1}}\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!\Gamma +\oint _{\Gamma _{3}}\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!\Gamma \!\,.$

Na drugi strani je $c_{1}=\Gamma _{1}\!\,$ in $c_{3}\ominus \Gamma _{3}\!\,$, tako da želena enakost sledi skoraj takoj. $\blacksquare \!\,$

Konservativne sile

Zgornji Helmholtzev izrek pojasnjuje, zakaj je delo, ki ga opravi konzervativna sila pri spreminjanju lege telesa, neodvisno od poti. Najprej se predstavi lemo 2-2, ki je posledica in posebni primer Helmholtzevega izreka.

Lema 2-2—naj je $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}\!\,$ odprta podmnožica z lamelarnim vektorskim poljem $\mathbf {\vec {F}} \!\,$ in $c_{0}\colon [0,1]\to U\!\,$ po delih gladka zanka. Fiksira se točko $\mathbf {\vec {p}} \in U\!\,$, če obstaja homotopija $H\colon [0,1]\times [0,1]\to U\!\,$, tako da je:

• [SC0] $H\!\,$ je po delih gladka,
• [SC1] $H(t,0)=c_{0}(t)\ {\text{za vse }}t\in [0,1]\!\,$,
• [SC2] $H(t,1)=\mathbf {\vec {p}} \ {\text{za vse }}t\in [0,1]\!\,$,
• [SC3] $H(0,s)=H(1,s)=\mathbf {\vec {p}} \ {\text{za vse }}s\in [0,1]\!\,$.

Potem je:

$\int _{c_{0}}\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!c_{0}=0\!\,.$

Zgornja lema 2-2 izhaja iz izreka 2–1. V lemi 2-2 je obstoj $H\!\,$, ki izpolnjuje pogoje od [SC0] do [SC3], ključnega pomena – vprašanje je, ali je takšno homotopijo mogoče rabiti za poljubne zanke. Če je $U\!\,$ enostavno povezana, takšna $H\!\,$ obstaja. Definicija enostavno povezanega prostora sledi:

Definicija 2-2 (enostavno povezani prostor)—naj je $M\subseteq \mathbb {R} ^{n}\!\,$ neprazni in povezan s potmi. $M\!\,$ je enostavno povezan, če in samo če za poljubno zvezno zanko $c_{0}\colon [0,1]\to M\!\,$ obstaja zvezna cevasta homotopija $H\colon [0,1]\times [0,1]\to M\!\,$ od $c\!\,$ do fiksne točke $p\in c\!\,$, kar pomeni:

• [SC0'] $H\!\,$ je zvezna,
• [SC1] $H(t,0)=c(t)\ {\text{za vse }}t\in [0,1]\!\,$,
• [SC2] $H(t,1)=\mathbf {\vec {p}} \ {\text{za vse }}t\in [0,1]\!\,$,
• [SC3] $H(0,s)=H(1,s)=\mathbf {\vec {p}} \ {\text{za vse }}s\in [0,1]\!\,$.

Trditev, da je »za konzervativno silo delo, opravljeno pri spreminjanju lege telesa, neodvisno od poti«, se morda zdi takojšnja, če je $M\!\,$ enostavno povezan. Vendar se je treba spomniti, da enostavna povezava zagotavlja le obstoj zvezne homotopije, ki izpolnjuje pogoje [SC1-3] – namesto tega se išče po delih gladko homotopijo, ki izpolnjuje te pogoje.

Na srečo vrzel v regularnosti odpravi Whitneyjev aproksimacijski izrek. Z drugimi besedami, možnost, da se najde zvezno homotopijo, vendar se ne da integrirati po njej, je dejansko odpravljena s pomočjo višje matematike. Tako se dobi naslednji izrek.

Izrek 2-2—naj je $U\subseteq \mathbb {R} ^{3}\!\,$ odprta in enostavno povezana z brezvrtinčnim vektorskim poljem $\mathbf {\vec {F}} \!\,$. Za vse po delih gladke zanke $c\colon [0,1]\to U\!\,$ je:

$\int _{c_{0}}\mathbf {\vec {F}} \,\operatorname {d} \!c_{0}=0\!\,.$

Maxwellove enačbe

V fiziki elektromagnetizma Stokesov izrek utemeljuje enakovrednost diferencialne oblike Maxwell-Faradayeve enačbe in Maxwell-Amperove enačbe ter integralske oblike teh enačb. Za indukcijski zakon se Stokesov izrek rabi za jakost električnega polja $\mathbf {\vec {E}} \!\,$:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {\vec {E}} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\vec {l}}}=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {\vec {E}} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {\vec {S}} \!\,.$

Za Amperov zakon se Stokesov izrek rabi za gostoto magnetnega polja $\mathbf {\vec {B}} \!\,$:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {\vec {B}} \cdot \operatorname {d} \!{\boldsymbol {\vec {l}}}=\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {\vec {B}} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {\vec {S}} \!\,.$

Viri

• Colley, Susan Jane (2012), Vector calculus (PDF) (4. izd.), Boston: Pearson, str. 603, ISBN 978-0-32-178065-2, LCCN 2011022433, OCLC 732967769, OL 24885586M
• Conlon, Lawrence (2008), Differentiable manifolds, (= Modern Birkhäuser classics) (2. izd.), Boston; Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4766-7, OL 37096701M – prek Google Knjige
• Edwards, Harold Mortimer (1994) [1969], Advanced Calculus: A Differential Forms Approach (3. izd.), Boston: Birkhäuser, str. 508, COBISS 16502789, ISBN 978-0-81-763707-1, LCCN 93020657, OCLC 28255819, OL 1411800M – prek Google Knjige
• Fujimoto, Atsuo (1979), 現代数学レクチャーズ. C 1, ベクトル解析 (Gendai sūgaku rekuchāzu. C(1), Bekutoru kaiseki) [Predavanja iz sodobne matematike : C1, Vektorska analiza] (v japonščini), Baifukan, OCLC 674186011
• Griffiths, David Jeffrey (2013), Introduction to Electrodynamics (4. izd.), Pearson, ISBN 978-0-3-2185656-2, LCCN 2012029768, OCLC 794711764, OL 25840902M
• Lee, John Marshall (2012), Introduction to Smooth Manifolds, (= Graduate texts in mathematics), vol. 218 (2. izd.), New York; London: Springer, COBISS 1545370335, ISBN 978-1-44-199982-5, LCCN 2012945172, OCLC 800646950, OL 27047067M – prek Google Knjige
• Pérez-Garrido, Antonio (1. maj 2024), »Recovering seldom-used theorems of vector calculus and their application to problems of electromagnetism«, American Journal of Physics, 92 (5): 354–359, arXiv:2312.17268, Bibcode:2024AmJPh..92e.354P, doi:10.1119/5.0182191, ISSN 0002-9505
• Pontrjagin, Lev Semjonovič (1959), »Smooth manifolds and their applications in homotopy theory« (PDF), American Mathematical Society Translations, (= Series 2) (v angleščini), 11, prevedel Hilton, Peter John, Providence, Rhode Island: Ameriško matematično društvo: 1–114, doi:10.1090/trans2/011/01, ISBN 978-0-82-181711-7, MR 0115178, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 28. aprila 2025, pridobljeno 15. julija 2026 {{citat}}: ISBN / Date nekompatibilen (pomoč)Vzdrževanje CS1: parameter work z ISBN (povezava). Glej izreka 7 in 8.
• Stewart, James Drewry (2010), Essential Calculus: Early Transcendentals (2. izd.), Avstralija; ZDA: Brooks/Cole, str. 944, ISBN 978-0-53-849739-8, LCCN 2009939223, OCLC 778272460, OL 25051631M – prek Google Knjige
• Stewart, James Drewry (2012), Calculus: Early Transcendentals (PDF) (7. izd.), Belmont, Kalifornija: Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-49790-9, LCCN 2010936599, OCLC 704439548, OL 25053417M, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 5. julija 2025, pridobljeno 15. julija 2026
• Stöcker, Horst (2006), Matematični priročnik z osnovami računalništva, Ljubljana: Tehniška založba Slovenije, COBISS 229576192, ISBN 86-365-0587-9

Zunanje povezave

• Rowland, Todd; Weisstein, Eric Wolfgang. »Stokes' Theorem«. MathWorld (v angleščini).{{navedi splet}}: Vzdrževanje CS1: več imen: seznam avtorjev (povezava)