Pojdi na vsebino

Stohastični proces

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

V teoriji verjetnosti in povezanih področjih je stohastični ali naključni proces matematični objekt, običajno opredeljen kot družina slučajnih spremenljivk v verjetnostnem prostoru, kjer ima indeks družine pogosto interpretacijo časa. Stohastični procesi se široko uporabljajo kot matematični modeli sistemov in fenomenov, ki se očitno razlikujejo na naključni način. To so na primer rast populacije bakterij, električni tok, ki fluktuira zaradi toplotnega hrupa ali gibanje molekul plina.[1][2][3] Stohastični procesi imajo uporabo na številnih področji, kot je biologija,[4] kemija,[5] ekologija,[6] nevroznanost,[7] fizika,[8] procesiranje slik, procesiranje signalov,[9] teorija nadzora,[10] teorija informacij,[11] računalniška znanost[12] in telekomunikacije.[13] Poleg tega so navidez naključne spremembe na finančnih trgih vodile v obsežno uporabo stohastičnih procesov v financah.[14][15][16]

Aplikacije preučevanje fenomenov so po drugi strani navdihnili predloge za nove stohastične procese. Primeri teh stohastičnih proceso so na primer Wienerjev proces ali Brownianski proces gibanja,[a] ki ga je uporabljal Louis Bachelier pri preučevanju sprememb cen na Pariški borzi,[19] in pri Poissonovem procesu, ki ga je uporabljal A. K. Erlang pri preučevanju števila telefonskih klicev, ki se zgodijo v določenem časovnem obdobju.[20] Ta dva stohastična procesa veljata za najpomembnejša in osrednja v teoriji stohastičnih procesov,[1][2][21] in sta bila izumljena ponovno in neodvisno, tako pred, kakor tudi po Bachelierju in Erlangu v različnih okoljih in državah.[19][22]

Izraz naključna funkcija je prav tako v uporabi za stohastične ali naključne procese,[23][24] saj lahko stohastični proces interpretiramo tudi kot naključni element v funkcijskem prostoru.[25][26] Izraza stohastični proces in naključni proces lahko uporabljamo izmenično, pogosto brez specifičnega matematičnega prostora za set, ki indeksira naključne spremenljivke.[25][27] Toda ta dva izraza sta pogosto uporabljana ko so naključne spremenljivke indeksirane po celih številih ali intervalih realne premice.[3][27] Če so naključne spremenljivke indeksirane po Kartezični ravnini ali nekem višjedimenzionalnem Evklidskem prostoru, običajno zbirko naključnih spremenljivk namesto tega imenujemo naključno področje.[3][28] Vrednosti stohastičnega procesa niso vselej številke in so lahko tudi vektorji ali drugi matematični objekti.[3][26]

Stohastične procese lahko na podlagi njihovih matematičnih lastnosti grupiramo v različne kategorije, med katerimi so random walki,[29] martingali,[30] Markovske verige,[31] Lévyjevi procesi,[32] Gaussovi procesi,[33] naključna področja,[34] obnovitveni procesi in razvejitveni procesi.[35] Preučevanje stohastičnih procesov uporablja matematično znanje in tehnike iz verjetnosti, infinitezimalnega računa, linearne algebre, teorije množic in topologije,[36][37][38] pa tudi vej matematične analize, kot so realna analiza, mere, Fourierjeva analiza in funkcionalna analiza.[39][40][41] Teorija stohastičnih procesov velja za pomemben prispevek k matematiki[42] in je še naprej dejavno področje raziskav zaradi tako teoretičnih razlogov, kot tudi aplikacij.[43][44][45]

Uvod

[uredi | uredi kodo]

Stohastični ali naključni proces lahko opredelimo kot zbirko naključnih spremenljivk, ki so indeksirane po določenem matematičnem setu, kar pomeni, da je vsaka naključna spremenljivka stohastičnega procesa unikatno povezana z elementom seta.[2][3] Ta set uporabljamo za indeksiranje naključnih spremenljivk, ki se imenuje indeksna množica. Zgodovinsko je bila indeksna množica podmnožica realne premice, kot so naravne številke, ki dajejo indeksni množici interpretacijo časa.[1] Vsaka naključna spremenljivka v zbirki zavzame vrednost iz istega matematičnega prostora, znanega kot prostor stanj. Ta prostor stanj je lahko na primer število, številska premica ali -dimenzionalni Evklidski prostor.[1][3] Povečanje je količina za katero se stohastični prostor spremeni med dvema indeksnima vrednostma, ki ga pogotso interpretiramo kot dve točki v času.[46][47] Stohastični proces ima lahko veliko izidov, zaradi svoje naključnosti in en izid stohastičnega procesa se imenuje med drugimi imeni vzorčna funkcija ali realizacija.[26][48]

Opombe

[uredi | uredi kodo]
  1. ↑ The term Brownian motion can refer to the physical process, also known as Brownian movement, and the stochastic process, a mathematical object, but to avoid ambiguity this article uses the terms Brownian motion process or Wiener process for the latter in a style similar to, for example, Gikhman and Skorokhod[17] or Rosenblatt.[18]

Sklici

[uredi | uredi kodo]
  1. 1 2 3 4 Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. str. 46, 47.
  2. 1 2 3 Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. str. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
  3. 1 2 3 4 5 6 Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. str. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
  4. ↑ Bressloff, Paul C. (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN 978-3-319-08488-6.
  5. ↑ Van Kampen, N. G. (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN 978-0-08-047536-3.
  6. ↑ Lande, Russell; Engen, Steinar; Sæther, Bernt-Erik (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852525-7.
  7. ↑ Laing, Carlo; Lord, Gabriel J. (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923507-0.
  8. ↑ Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-319-00327-6.
  9. ↑ Dougherty, Edward R. (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2513-3.
  10. ↑ Bertsekas, Dimitri P. (1996). Stochastic Optimal Control: The Discrete-Time Case. Athena Scientific. ISBN 1-886529-03-5. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 8. junija 2023. Pridobljeno 28. decembra 2025.
  11. ↑ Thomas M. Cover; Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. str. 71. ISBN 978-1-118-58577-1.
  12. ↑ Baron, Michael (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists (2nd izd.). CRC Press. str. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7.
  13. ↑ Baccelli, François; Blaszczyszyn, Bartlomiej (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN 978-1-60198-264-3.
  14. ↑ Steele, J. Michael (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-95016-7.
  15. ↑ Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-26653-2.
  16. ↑ Shreve, Steven E. (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-40101-0.
  17. ↑ Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
  18. ↑ Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press.
  19. 1 2 Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). »A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970«. A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. str. 75–80. CiteSeerX 10.1.1.114.632. doi:10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170.
  20. ↑ Stirzaker, David (2000). »Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary«. The Mathematical Gazette. 84 (500): 197–210. doi:10.2307/3621649. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649. S2CID 125163415.
  21. ↑ Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. str. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  22. ↑ Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). »What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes«. International Statistical Review. 80 (2): 253–268. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN 0306-7734. S2CID 80836.
  23. ↑ Gusak, Dmytro; Kukush, Alexander; Kulik, Alexey; Mishura, Yuliya; Pilipenko, Andrey (2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. str. 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
  24. ↑ Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. str. 42. ISBN 978-3-540-26312-8.
  25. 1 2 Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. str. 24–25. ISBN 978-0-387-95313-7.
  26. 1 2 3 John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. str. 1–2. ISBN 978-3-540-90275-1.
  27. 1 2 Loïc Chaumont; Marc Yor (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. str. 175. ISBN 978-1-107-60655-5.
  28. ↑ Robert J. Adler; Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media. str. 7–8. ISBN 978-0-387-48116-6.
  29. ↑ Gregory F. Lawler; Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48876-1.
  30. ↑ David Williams (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
  31. ↑ L. C. G. Rogers; David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71749-7.
  32. ↑ David Applebaum (2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83263-2.
  33. ↑ Mikhail Lifshits (2012). Lectures on Gaussian Processes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-24939-6.
  34. ↑ Robert J. Adler (2010). The Geometry of Random Fields. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
  35. ↑ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ISBN 978-0-08-057041-9.
  36. ↑ Bruce Hajek (2015). Random Processes for Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-24124-0.
  37. ↑ G. Latouche; V. Ramaswami (1999). Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. SIAM. ISBN 978-0-89871-425-8.
  38. ↑ D.J. Daley; David Vere-Jones (2007). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21337-8.
  39. ↑ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ISBN 978-81-265-1771-8.
  40. ↑ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ISBN 978-3-319-09590-5.
  41. ↑ Adam Bobrowski (2005). Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83166-6.
  42. ↑ Applebaum, David (2004). »Lévy processes: From probability to finance and quantum groups«. Notices of the AMS. 51 (11): 1336–1347.
  43. ↑ Jochen Blath; Peter Imkeller; Sylvie Roelly (2011). Surveys in Stochastic Processes. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-072-2.
  44. ↑ Michel Talagrand (2014). Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems. Springer Science & Business Media. str. 4–. ISBN 978-3-642-54075-2.
  45. ↑ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. str. vii–ix. ISBN 978-3-319-08488-6.
  46. ↑ Samuel Karlin; Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. str. 27. ISBN 978-0-08-057041-9.
  47. ↑ Applebaum, David (2004). »Lévy processes: From probability to finance and quantum groups«. Notices of the AMS. 51 (11): 1337.
  48. ↑ L. C. G. Rogers; David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. str. 121–124. ISBN 978-1-107-71749-7.
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Stohastični_proces&oldid=6611673«