Stefanova naloga

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Stefanova naloga [štéfanova nalóga/náloga] (tudi Stefanov problem [~ problém]) je v matematiki in njenih uporabah, še posebej pri faznih prehodih v snovi, posebni primer problema mejnih vrednosti za parcialno diferencialno enačbo, prilagojeno za primer v katerem se lahko fazna meja s časom premika. Klasična Stefanova naloga poskuša opisovati porazdelitev temperature v homogeni snovi med faznim prehodom, na primer prehajanje ledu v kapljevinsko vodo, z reševanjem enačbe za prevajanje toplote, kjer se določi začetna porazdelitev temperature po celotni snovi in delni robni pogoj, Stefanov pogoj, o nastajanju meje med dvema fazama. Ta nastajajoča meja je neznana (hiper)|ploskev, Stefanove naloge pa so primeri nalog s premično mejo.

Naloga se imenuje po Jožefu Stefanu, ki je okoli leta 1890 obravnaval splošni razred takšnih nalog v povezavi z nastankom ledu in faznima prehodoma izparevanjem in taljenjem kot difuzijskima pojavoma.[1] O tem je med letoma 1889 in 1891 objavil šest člankov. Joseph Black je v vrsti poskusov z vodo in ledom na Univerzi v Glasgowu med letoma 1758 in 1762 pokazal, da se faznega prehoda iz trdnine v kapljevino ne da kalorično pojasniti s samo občutno toploto, in je uvedel pojem latentne toplote.[2]

Fourier je v svojem delu La Théorie Analytique de la Chaleur, objavljenem leta 1822, podal potrebna fizikalna in matematična orodja za prevajanje toplote in podal zakon o prevajanju toplote:

kjer je gostota toplotnega toka, λ toplotna prevodnost in ∇ T gradient temperature. Zamisel kako analitično vključiti latentno toploto v enačbe prevajanja toplote sta prva pojasnila Lamé in Clapeyron leta 1831.[2][3][1] Tudi Neumann je v zgodnjih 1860-ih rešil podobni primer v neobjavljenih predavanjih na Univerzi v Königsbergu. Lamé in Clapeyron sta poskusila določiti debelino trdninske plasti, tvorjene s kapljevino, ki napolnjuje polprostor pod vplivom konstantne temperature v ravnini . Temperatura kapljevinske faze je na začetku povsod enaka kristalizacijski. Pokazala sta, da je debelina plasti sorazmerna s kvadratnim korenom časa, nista pa določila sorazmernostnega koeficienta.[3]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. 1,0 1,1 Vuik (1993), str. 157.
  2. 2,0 2,1 Ayasoufi (2004), str. 10.
  3. 3,0 3,1 Rubinštejn (1994), str. 1.

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Ayasoufi, Anahita (2004), "Numerical simulation of heat conduction with melting and/or freezing by space-time conservation element and solution element method" (PDF), Doktorska dizertacija, Univerza v Toledu (angleščina), pridobljeno dne 2010-10-04
  • Rubinštejn, Lev Izakovič (1994), The Stefan Problem, Translations of Mathematical Monographs, 27, Providence, Rhode Island: Ameriško matematično društvo, ISBN 0-8218-1577-6, Zbl 0219.35043
  • Stefan, Jožef (1889), "O teoriji nastanka ledu, posebno še o nastanku ledu v polarnem morju (Über die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung im Eismeere)", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien (SAW), 98 (II a): 965–983. Tudi Monatshefte der Mathematik und Physik, zvezek 1, str. 1–5, 1890; in WA 42, str. 625, 1891.
  • Vuik, C. (1993), "Some historical notes about the Stefan problem", Nieuw Archief voor Wiskunde, 4e serie, 11 (2): 157–167, MR 1239620, Zbl 0801.35002. Preprint različica v formatu PDF je na voljo tukaj[1].