Seznam fraktalov po Hausdorff-Bezikovičevi razsežnosti

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Fraktal je geometrijski objekt, katerega Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost (δ) strogo presega svojo topološko razsežnost.[1]

Tu je predstavljeno nekaj fraktalov, razvrščenih po naraščajoči Hausdorff-Bezikovičevi razsežnosti z namenom ponazoritve kaj pomeni da ima fraktal majhno ali veliko razsežnost.

Deterministični fraktali[uredi | uredi kodo]

δ
(točna vrednost)
δ
(vrednost)
ime prikaz opombe
\textstyle{\frac {\ln(2)}{\ln(\delta)}?} 0.4498? bifurkacije logistične preslikave Logistic map bifurcation diagram.png V bifurkacijskem grafu se pri približevanju kaotičnega področja pojavijo zaporedne podvojitve period, kjer geometrično zaporedje teži k 1/δ. (δ=4,6692, prva Feigenbaumova konstanta).
\textstyle{\frac {\ln(2)}{\ln(3)}} 0.6309 Cantorjeva množica Cantor set in seven iterations.svg Ustvarjena z odstranjevanjem tretjine v vsaki ponovitvi. Nikjer gosta in neštevna množica.
 \log{(1+\sqrt{2})} 0.88137 spekter Fibonaccijevega hamiltonskega sistema Spekter konvergira k eksplicitni konstanti.[2]
\textstyle{1} 1 Smith-Volterra-Cantorjeva množica Smith-Volterra set2.png Ustvarjena z odstranitvijo sredinskega intervala dolžine 1/2^{2n} za vsak preostal interval n-te ponovitve. Nikjer gosta množica, a z Lebesguovo mero ½.
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(7)}} 1.0686 obris Gosperjevega otoka Ile de Gosper.gif
izmerjeno (škatlično štetje) 1.2 vejasta Juliajeva množica Dendrite julia.png Juliajeva množica s parametroma: Realni del=0 in Imaginarni del=1.
\textstyle{3\frac{\log(\phi)}{\log (\frac{3+\sqrt{13}}{2})}} 1.2083 Fibonaccijev fraktal 60° Fibo 60deg F18.png Ustvarjena iz Fibonaccijeve besede. Glej tudi standardni Fibonaccijev fraktal.
1.26 Hénonova preslikava Henon attractor.png Kanonična Hénonova preslikava s parametroma a = 1,4 in b = 0,3 ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 1,261 ± 0,003. Različni parametri dajo različne vrednosti δ.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}} 1.2619 Kochova krivulja Koch curve.svg Tri von Kochove krivulje tvorijo Kochovo snežinko, oziroma antisnežinko.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}} 1.2619 obris trojne zmajeve krivulje Terdragon boundary.png L-sistem: enak kot zmajeva krivulja s kotom =30°. The Fudgeflake (zmečkana snežinka) temelji na 3 začetnih točkah, postavljenih v trikotnik.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}} 1.2619 dvorazsežni Cantorjev prah Carre cantor.gif Dvorazsežna Cantorjeva množica.
izračunano 1.2683 Juliajeva množica z²-1 Julia z2-1.png Juliajeva množica za c=-1. [3]
1.3057 Apolonijeva mreža Apollonian gasket.gif Tudi »Apolonijevo tesnilo«.
izračunano 1.3934 Douadyjev zajec Douady rabbit.png Juliajeva množica za c=-0,123+0.745i. [4]
\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}} 1.4649 škatelni fraktal Box fractal.png Ustvarjena z izmenjajočim ponavljanjem kvadratov križa iz petih kvadrat(k)ov.
\textstyle{\frac {\ln(5)} {\ln(3)}} 1.4649 kvadratna Kochova krivulja (tip 1) Quadratic Koch 2.png Vzorec škatelnega fraktala (zgoraj).
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(4)}} 1.5000 kvadratna Kochova krivulja (tip 2) Quadratic Koch.png Imenovana tudi »klobasa Minkovskega«.
1.5236 obris zmajeve krivulje Boundary dragon curve.png Cf Chang & Zhang.[5]
\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}} 1.5850 trovejno drevo Arbre 3 branches.pngArbre 3 branches2.png Vsaka veja drži 3 veje. (tukaj 90° in 60°). Razsežnost fraktala celotnega drevesa je fraktalna razsežnost zadnje veje. Toda: drevo z dvema vejama ima fraktalno razsežnost 1.
\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}} 1.5850 trikotnik Sierpinskega SierpinskiTriangle.PNG Tudi Pascalov trikotnik modulo 2.
\textstyle{\frac {\ln(3)} {\ln(2)}} 1.5850 puščična krivulja Sierpinskega PfeilspitzenFraktal.PNG Ustvarjena z enorazsežno krivuljo.
\textstyle{1+\frac{\ln 2}{\ln 3}} 1.6309 Pascalov trikotnik modulo 3 Pascal triangle modulo 3.png Za trikotnik modulo k, kjer je k praštevilo, je fraktalna razsežnost \scriptstyle{1 + log_k(\frac{k+1}{2})}(Cf Stephen Wolfram[6])
\textstyle{3\frac{\log(\phi)}{\log (1+\sqrt{2})}} 1.6379 Fibonaccijev fraktal Fibonacci fractal F23 steps.png Fraktal iz Fibonaccijeve besede (OEIS A005614). Ilustracija: fraktal po F23 (28657) korakih. [7].
\textstyle{1+\frac{\ln 3}{\ln 5}} 1.6826 Pascalov trikotnik modulo 5 Pascal triangle modulo 5.png Za trikotnik modulo k, kjer je k praštevilo, je fraktalna razsežnost \scriptstyle{1 + log_k(\frac{k+1}{2})} (Cf Stephen Wolfram[8])
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(\sqrt{5})}} 1.7227 vetrnični fraktal Pinwheel fractal.png Grajen na podlagi Conway-Radinovega vetrničnega pokritja.
\textstyle{\frac {\ln(7)} {\ln(3)}} 1.7712 snežinka šestkotnikov Flocon hexagonal.gif Ustvarjena z izmenjujočim ponavljanjem 7 šestkotnikov. Njena meja je Kochova snežinka. Vsebuje neskončno Kochovih snežink.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2(1+cos(85^\circ))}} 1.7848 Kochova krivulja 85°, Cesarejev fraktal Koch Curve 85degrees.png Izhaja iz Kochove krivulje s kotom med 0 in 90°. Fraktalna razsežnost: \scriptstyle{\frac{ln(4)}{ln(2(1+cos(a))}}. Cesarejev fraktal izhaja iz tega vzorca.
\textstyle{\frac {\ln(6)} {\ln(1+\phi)}} 1.8617 snežinka petkotnikov Penta plexity.png Ustvarjena z izmenjujočim ponavljanjem 6 petkotnikov. \phi = zlati rez = \scriptstyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}} 1.8928 preproga Sierpinskega Sierpinski6.png
\textstyle{\frac {\ln(8)} {\ln(3)}} 1.8928 trirazsežni Cantorjev prah Cantor3D3.png Trorazsežna Cantorjeva množica.
\textstyle{\frac {\ln(4)} {\ln(3)}+\frac {\ln(2)} {\ln(3)}=\frac {\ln(8)} {\ln(3)}} 1,8928 kartezični produkt Kochove krivulje in Cantorjeve množice Koch Cantor cartesian product.png Posplošitev: Naj je F×G kartezični produkt dve fraktalnih množic F ind G. Potem velja Dim_H(FxG) = Dim_H(F) + Dim_H(G).[1]. Glej tudi dvorazsežni Cantorjev prah in Cantorjeva kocka.
ocenjeno 1.9340 obris Lévyjeve C-krivulje LevyFractal.png Ocena Duvalla in Keeslinga (1999). Krivulja ima fraktalno razsežnost 2.
1.974 Penroseovo pokritje Pen0305c.gif See Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[9]
\textstyle{2} 2 Mandelbrotova množica Mandelbrot-similar1.png Vsaka ravnina predmeta, ki vsebuje disk, ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2. Toda tudi meja Mandelbrotove množice ima tudi Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2.
\textstyle{2} 2 Juliajeva množica Julia set (Rev formula 04).gif za določene vrednosti c (vključno s c na meji Mandelbrotove množice), ima Juliajeva množica fraktalno razsežnosz 2. [10].
\textstyle{2} 2 krivulja Sierpinskega Sierpinski-Curve-3.png Vsaka Peanova krivulja, ki zapolni ravnino, ima Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost δ = 2.
\textstyle{2} 2 Hilbertova krivulja Hilbert-Curve-3.png Na podoben način: Moorova krivulja. Se lahko razširi v tri razsežnosti.
\textstyle{2} 2 Peanova krivulja Peano curve.png Družina krivulj, ustvarjeni na podoben način, kot npr. Wunderlichove krivulje.
\textstyle{2} 2 Moorova krivulja Moore-curve-stages-1-through-4.svg Se lahko razširi v tri razsežnosti.
2 Lebesguova krivulja ali krivulja reda z Z-order curve.png Drugače kot prejšnje je ta krivulja, ki lahko zapolni prostor, odvedljiva praktično povsod. Prav tak tip krivulje lahko določimo v dveh razsežnostih. Kot Hilbertova krivulja se lahko razširi v tri razsežnosti.[11]
\textstyle{\frac {ln(2)} {ln(\sqrt{2})}} 2 zmajeva krivulja Courbe du dragon.png Njene meje imajo fraktalno razsežnost 1.5236.
2 trojna zmajeva krivulja Terdragon curve.png L-System: F-> F+F-F. kot=120°.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 T-kvadrat T-Square fractal (8 iterations).png
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 Gosperjeva krivulja Gosper curve 3.svg Njena meja je Gosperjev otok.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 tetraeder Sierpinskega Tetraedre Sierpinski.png Vsak tetraeder nadomestimo s 4 tetraedri.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 H-drevo H fractal2.png Tudi »H-fraktal« in »Mandelbrotovo drevo«, ki ima enak vzorec.
\textstyle{\frac {\log(2)} {\log(2/\sqrt{2})} = 2} 2 Pitagorovo drevo PythagorasTree.png Vsak kvadrat generira 2 kvadrata, pomanjšana za faktor \sqrt{2}/2.
\textstyle{\frac {ln(4)} {ln(2)}} 2 dvorazsežni grški križ Greek cross fractal stage 4.svg Vsak del nadomestimo s kržem iz 4 delov.
2.06 Lorenzov atraktor Lorenz attractor.png Za točne vrednosti parametrov.
\textstyle{\frac {ln(20)} {ln(2+\phi)}} 2.3296 dodekaederski fraktal Dodecaedron fractal.jpg Vsak dodekakeder (dvanajsterec, pravilno telo, ki ga omejuje 12 pravilnih peterokotnikov) nadomestimo z 20 dodekaedri.
\textstyle{\frac {ln(13)} {ln(3)}} 2.3347 trirazsežna kvadradna Kochova ploskev (tipa 1) Quadratic Koch 3D (type1).png Razširitev kvadratne Kochove krivulje tipa 1 v tri razsežnosti. Slika prikazuje drugo ponovitev.
2.4739 Apollonijevo pakiranje krogel Apollonian spheres2.png The interstice left by the apollolian spheres. Apollonian gasket in 3D. Dimension calculated by M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert.[12]
\textstyle{\frac {ln(32)} {ln(4)}} 2.50 trirazsežna Kochova ploskev (tipa 2) Quadratic Koch 3D.png Razširitev kvadratne Kochove krivulje (tipa 2) v tri razsežnosti. Slika prikazuje prvo ponovitev.
\textstyle{\frac {ln(16)} {ln(3)}} 2.5237 Cantorjev teserakt Cantorejeva množica v štirih razsežnostih. Posplošitev: v prostoru z razsežnostjo n, ima Cantorjeva množica Hausdorff-Bezikovičevo razsežnost \scriptstyle{n\frac{ln(2)}{ln(3)}}
\textstyle{\frac {ln(12)} {ln(1+\phi)}} 2.5819 ikozaedrski fraktal Icosaedron fractal.jpg Vsak ikozaeder nadomestimo z 12 ikozaedri.
\textstyle{\frac {ln(6)} {ln(2)}} 2.5849 trirazsežni grški križ Greek cross 3D.png Each segment is replaced by a cross formed by 6 segments.
\textstyle{\frac {ln(6)} {ln(2)}} 2.5849 oktaedrski fraktal Octaedron fractal.jpg Vsak oktaeder nadomestimo s 6 oktaedri.
\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}} 2.5849 Kochova ploskev Koch surface 3.png vsak enakostranični trikotnik zamenjamo s 6 dvakrat manjšimi trikotniki.
\textstyle{\frac {ln(20)} {ln(3)}} 2.7268 Mengerjeva spužva Menger.png Njena površina ima fraktalno razsežnost \scriptstyle{\frac{ln(12)}{ln(3)} = 2.2618}.
\textstyle{\frac {ln(8)} {ln(2)}} 3 trirazsežna Hilbertova krivulja Hilbert3d-step3.png Hilbertova krivulja razširjena v tri razsežnosti.
\textstyle{\frac {ln(8)} {ln(2)}} 3 trirazsežna Lebesguova krivulja Lebesgue-3d-step3.png Lebesguova krivulja razširjena v tri razsežnosti.
\textstyle{\frac {\log(8)} {\log(2)} = 3} 3 trirazsežna Moorova krivulja Moore3d-step3.png Moorova krivulja razširjena v tri razsežnosti.

Naključni in naravni fraktali[uredi | uredi kodo]

δ
(točna vrednost)
δ
(vrednost)
ime prikaz opombe
izmerjeno 1.22 ± 0.02 obris obale Irske Ireland (MODIS).jpg Vrednosti fraktalne razsežnosti celotne irske obale so določili McCartney, Abernethy in Gault[13] na Univerzi Ulstra in študentje teoretične fizike na Kolidžu Trinity v Dublinu pod vodstvom S. Hutzlerja.[14] Med neravno zahodno obalo (fraktalna razsežnost je približno 1,26) in veliko gladkejšo vzhodno obalo (fraktalna razsežnost je 1,10) je precejšnja razlika.[14]
izmerjeno 1.24 obris obale Velike Britanije Gb4dot.svg
\textstyle{\frac {4}{3}} 1.33 obris Brownovega gibanja Front mouvt brownien.png (Cf Wendelin Werner).[15]
\textstyle{\frac {4}{3}} 1.33 dvorazsežni polimer Similar to the brownian motion in 2D with non self-intersection.[16]
\textstyle{\frac {4}{3}} 1.33 Percolation front in 2D, Corrosion front in 2D Front de percolation.png Fractal dimension of the percolation-by-invasion front, at the percolation threshold (59.3%). It’s also the fractal dimension of a stopped corrosion front.[16]
1.40 Clusters of clusters 2D When limited by diffusion, clusters combine progressively to a unique cluster of dimension 1.4.[16]
izmerjeno 1.52 obris obale Norveške Norgeskart.png
izmerjeno 1.55 naključni sprehod brez sekanj Polymer 2D.png Self-avoiding random walk in a square lattice, with a « go-back » routine for avoiding dead ends.
\textstyle{\frac {5} {3}} 1.66 trirazsežni polimer Similar to the brownian motion in a cubic lattice, but without self-intersection.[16]
1.70 2D DLA Cluster Agregation limitee par diffusion.png In 2 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 1.70.[16]
\textstyle{\frac {91} {48}} 1.8958 2D Percolation cluster Amas de percolation.png Under the percolation threshold (59.3%) the percolation-by-invasion cluster has a fractal dimension of 91/48.[16][17] Beyond that threshold, le cluster is infinite and 91/48 becomes the fractal dimension of the « clearings ».
\textstyle{\frac {ln(2)} {ln(\sqrt{2})}} 2 Brownovo gibanje Mouvt brownien2.png Or random walk. The Hausdorff dimensions equals 2 in 2D, in 3D and in all greater dimensions (K.Falconer "The geometry of fractal sets").
izmerjeno približno 2 porazdelitev galaktičnih jat Abell 1835 Hubble.jpg Iz rezultatov pregleda SDSS leta 2005.[18]
\textstyle{\frac {ln(13)} {ln(3)}} 2.33 površina cvetače Blumenkohl-1.jpg Every branch carries around 13 branches 3 times smaller.
2.5 klobčiči zmečkanega papirja Paperball.png When crumpling sheets of different sizes but made of the same type of paper and with the same aspect ratio (for example, different sizes in the ISO 216 A series), then the diameter of the balls so obtained elevated to a non-integer exponent between 2 and 3 will be approximately proportional to the area of the sheets from which the balls have been made. [1] Creases will form at all size scales (see Universality (dynamical systems)).
2.50 Lichtenbergova figura PlanePair2.jpg In 3 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 2.50.[16]
\textstyle{3-\frac{1}{2}} 2.5 pravilna Brownova ploskev Brownian surface.png [1].
2.50 3D DLA Cluster In 3 dimensions, clusters formed by diffusion-limited aggregation, have a fractal dimension of around 2.50.[16]
izmerjeno 2.52 trirazsežni ponikalni oblak 3Dpercolation.png [17]
izmerjeno 2.66 brstnati ohrovt Broccoli DSC00862.png [19]
2.79 površina skorje človeških možgan Cerebellum NIH.png [20]
2.97 površina človeških pljuč Thorax Lung 3d (2).jpg The alveoli of a lung form a fractal surface close to 3.[16]
izračunano 3 kvantna struna, ki se kopiči naključno Point&string.png Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost kvantne strune, katere reprezentativna točka se naključno kopičiti skozi zančni prostor.[21]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]