Schmidtova razstavitev

Schmidtova razstavítev ali Schmidtova dekompozícija [šmítova ~] je v linearni algebri poseben način izražanja in predstavitve vektorja v tenzorskem produktu dveh prehilbertovih prostorov. Ima mnoge aplikacije v kvantni teoriji informacij, na primer pri karakterizaciji prepletenosti in čiščenju kvantnega stanja, kvantnem računalništvu, kvantnem radiranju, fiziki črnih lukenj ter plastičnosti. Imenuje se po nemškem matematiku Erhardu Oswaldu Johannesu Schmidtu, ki jo je uvedel.

Izrek

Naj sta $H_{1}\!\,$ in $H_{2}\!\,$ Hilbertova prostora z razsežnostima $n\!\,$ in $m\!\,$. Naj je $n\geq m\!\,$. Za poljubni vektor $w$ v tenzorskem produktu $H_{1}\otimes H_{2}\!\,$ obstajata takšni ortonormalni množici $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}\!\,$ in $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}$, da velja ${\textstyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}\!\,}$, kjer so skalarji $\alpha _{i}\!\,$ realni, nenegativni in edinstveni do ponovne razvrstitve.

Dokaz

Schmidtova razstavitev je v bistvu ponovna izjava razstavitve na enojno vrednost v drugačnem kontekstu. Naj sta fiksni ortonormalni bazi $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}\!\,$ in $\{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}\!\,$. Identificira se lahko elementarni tenzor $e_{i}\otimes f_{j}\!\,$ z matriko $e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}\!\,$, kjer je $f_{j}^{\mathsf {T}}\!\,$ transponiranka $f_{j}\!\,$. Na splošni element tenzorskega produkta:

$w=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}\!\,$

se potem lahko gleda kot na matriko $n\times m\!\,$:

$M_{w}=(\beta _{ij})\!\,.$

Po razstavitvi na enojno vrednost obstajajo takšna $n\times n\!\,$ unitarna matrika $U\!\,$, $m\times m\!\,$ unitarna matrika $V\!\,$ in pozitivno semidefinitna $m\times m\!\,$ diagonalna matrika $\Sigma \!\,$, da velja:

$M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}\!\,.$

Če se zapiše $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}\!\,$, kjer ima $U_{1}\!\,$ razsežnost $n\times m\!\,$, izhaja:

$M_{w}=U_{1}\Sigma V^{*}\!\,.$

Naj so $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\!\,$ $m\!\,$ stolpčni vektorji $U_{1}\!\,$, $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\!\,$ stolpčni vektorji ${\overline {V}}\!\,$ in $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}\!\,$ diagonalni elementi matrike $\Sigma \!\,$. Prejšnji izraz je tako:

$M_{w}=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}v_{k}^{\mathsf {T}}\!\,.$

Potem je:

$w=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}\otimes v_{k}\!\,,$

kaj dokazuje trditev. ■

Nekatera opažanja

Nekatere značilnosti Schmidtove razstavitve so fizikalno zanimive.

Spekter zmanjšanih stanj

Obravnava se vektor $w\!\,$ tenzorskega produkta:

$H_{1}\otimes H_{2}\!\,$

v obliki Schmidtove razstavitve:

$w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}\!\,.$

Tvori se matrika $\rho =ww^{*}\!\,$ z rangom 1. Potem je delna sled matrike $\rho \!\,$ glede na sistem $A\!\,$ ali $B\!\,$ diagonalna matrika, katere neničelni diagonalni elementi so $|\alpha _{i}|^{2}\!\,$. Z drugimi besedami, Schmidtova razstavitev kaže, da imajo zmanjšana stanja $\rho \!\,$ na obeh podsistemih enak spekter.

Schmidtov rang in prepletenost

Strogo pozitivne vrednosti $\alpha _{i}\!\,$ v Schmidtovi razstavitvi $w\!\,$ so njeni Schmidtovi koeficienti, Schmidtovi parametri prepletenosti ali Schmidtova števila $K\!\,$ in so naravne značilnosti stopnje prepletenosti, definirane kot:

$K=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{-1}\geqslant 1\!\,.$

Skupno število Schmidtovih koeficientov $w\!\,$, šteto z mnogokratnostjo, se imenuje njegov Schmidtov rang.

Če se lahko $w\!\,$ izrazi kot tenzorski produkt:

$u\otimes v\!\,,$

potem se $w\!\,$ imenuje ločljivo stanje. Drugače je $w\!\,$ v prepletenem stanju. Iz Schmidtove razstavitve se lahko vidi, da je $w\!\,$ prepleten, če in samo če ima $w\!\,$ Schmidtov rang strogo večji od 1. Zato sta dva podsistema, ki delita čisto stanje, prepletena, če in samo če sta njuni zmanjšani stanji mešani stanji. Iz Schmidtovih koeficientov čistega stanja $w\!\,$ je mogoče določiti vse njegove značilnosti plepletenosti. Tudi obnašanje $w\!\,$ pod krajevnimi kvantnimi operacijami določajo Schmidtovi koeficienti, še posebej, ali je mogoče dve stanji krajevno transformirati eno v drugo.

Von Neumannova entropija

Posledica zgornjih komentarjev je, da je za čista stanja von Neumannova entropija zmanjšanih stanj dobro definirana mera prepletenosti. Za von Neumannovo entropijo obeh zmanjšanih stanj $\rho \!\,$ je ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)\!\,}$ in to je enako nič, če in samo če je $\rho \!\,$ produktno stanje (neprepleteno).

Vektor Schmidtovega ranga

Schmidtov rang je definiran za dvodelne sisteme, namreč za kvantna stanja:

$|\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}\!\,.$

Koncept Schmidtovega ranga se lahko razširi na kvantne sisteme, sestavljene iz več kot dveh podsistemov.

Če se pogleda tridelni kvantni sistem:

$|\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{C}\!\,.$

Obstajajo trije načini za zmanjšanje sistema na dvodelni sistem z delno sledjo glede na $H_{A},H_{B}\!\,$ ali $H_{C}\!\,$:

${\begin{cases}{\hat {\rho }}_{A}=\operatorname {Tr} _{A}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{B}=\operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{C}=\operatorname {Tr} _{C}(|\psi \rangle \langle \psi |)\!\,.\end{cases}}$

Vsak od dobljenih sistemov je dvodelni sistem in ga je zato mogoče označiti z enim številom (njegovim Schmidtovim rangom) $r_{A},r_{B}\!\,$ in $r_{C}\!\,$. Ta števila zajemajo »količino prepletenosti« v dvodelnem sistemu, ko se zavržejo $A,B\!\,$ ali $C\!\,$. Zaradi teh razlogov se lahko tridelni sistem opiše z vektorjem, in sicer z vektorjem Schmidtovega ranga:

$\mathbf {\vec {r}} =(r_{A},r_{B},r_{C})\!\,.$

Mnogodelni sistemi

Koncept vektorja Schmidtovega ranga se lahko podobno razširi na sisteme, sestavljene iz več kot treh podsistemov, z uporabo tenzorjev.

Zgled

Naj se vzame tridelno kvantno stanje $|\psi _{4,2,2}\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}|0,0,0\rangle +|1,0,1\rangle +|2,1,0\rangle +|3,1,1\rangle {\big )}\!\,$.

Takšna vrsta sistema je mogoča s kodiranjem vrednosti kudita v tirno vrtilno količino(OAM) fotona namesto v njegov spin, saj lahko slednji sprejme le dve vrednosti.

Vektor Schmidtovega ranga za to kvantno stanje je $(4,2,2)\!\,$.

Glej tudi

• razstavitev na enojno vrednost
• izrek Schrödinger-HJW

Viri

• Ekert, Artur; Knight, Peter Leonard (Maj 1995), »Entangled quantum systems and the Schmidt decomposition«, American Journal of Physics, 63 (5): 415, doi:10.1119/1.17904, ISSN 0002-9505
• Fedorov, Mikhail; Miklin, Nikolai (2013), Schmidt modes and entanglement of biphoton polarization qutrits, arXiv:1308.2513
• Huber, Marcus; de Vicente, Julio I. (14. januar 2013), »Structure of Multidimensional Entanglement in Multipartite Systems«, Physical Review Letters (v angleščini), 110 (3): 030501, arXiv:1210.6876, Bibcode:2013PhRvL.110c0501H, doi:10.1103/PhysRevLett.110.030501, ISSN 0031-9007, PMID 23373906, S2CID 44848143
• Krenn, Mario; Malik, Mehul; Fickler, Robert; Lapkiewicz, Radek; Zeilinger, Anton (4. marec 2016), »Automated Search for new Quantum Experiments«, Physical Review Letters (v angleščini), 116 (9): 090405, arXiv:1509.02749, Bibcode:2016PhRvL.116i0405K, doi:10.1103/PhysRevLett.116.090405, ISSN 0031-9007, PMID 26991161, S2CID 20182586
• Nielsen, Michael Aaron (1999), »Conditions for a Class of Entanglement Transformations«, Physical Review Letters, 83 (2): 436–439, arXiv:quant-ph/9811053, doi:10.1103/PhysRevLett.83.436, ISSN 0031-9007
• Pati, Arun Kumar (2000), »Existence of the Schmidt decomposition for tripartite systems«, Physics Letters A, 278 (3): 118–122, arXiv:quant-ph/9911073, doi:10.1016/S0375-9601(00)00767-2, ISSN 0375-9601
• Peres, Asher (1993), Quantum Theory: Concepts and Methods, Dordrecht: Kluwer, §5
• Schmidt, Erhard Oswald Johannes (1907), »Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen : I. Teil: Entwicklung willkürlicher Functionen nach Systemen vorgeschriebener«, Mathematische Annalen, 63: 433–476, ISSN 0025-5831 – prek Središče za digitalizacijo Göttingen

• angleški prevod Stewart, G. W. (2011), »On the Theory of Linear and Nonlinear Integral Equations. Part I: The Expansion of Arbitrary Functions by Prescribed Systems.«, Fredholm, Hilbert, Schmidt: Three Fundamental Papers on Integral Equations Translated with commentary by G. W. Stewart

• Sciara, Stefania; Lo Franco, Rosario; Compagno, Giuseppe (2017), »Universality of Schmidt decomposition and particle identity«, Scientific Reports, 7: 44675, doi:10.1038/srep44675, ISSN 2045-2322
• Vidal, Guifré (2000), »Entanglement Monotones«, Journal of Modern Optics, 47 (2–3): 355–376, arXiv:quant-ph/9807077, doi:10.1080/09500340008244048, ISSN 0950-0340

Nadaljnje branje

• Pathak, Anirban (2013), Elements of Quantum Computation and Quantum Communication, London: CRC Press, Taylor & Francis Group, str. 92–98, ISBN 978-1-46-651791-2, OCLC 859524142

Zunanje povezave

• »Bipartite states and Schmidt decomposition«, quantiki.org (v angleščini), Quantiki