Racionalna normalna krivulja

Racionalna normalna krivulja je v matematiki gladka racionalna krivulja C s stopnjo $n\,$ v projektivnem n-prostoru $\mathbb {P} ^{n}$.

Je enostaven primer projektivne varietete. To je Veronesova varieteta, kadar je domena projektivna premica. Za n = 2 je to običajna parabola, za n = 3 pa je to zvita krivulja tretje stopnje.

Definicija

Racionalna normalna krivulja je dana parametrično kot slika preslikave

$\nu :\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{n}$.

To pa priredi homogenim koordinatam $[S:T]$ vrednost

$\nu :[S:T]\mapsto [S^{n}:S^{n-1}T:S^{n-2}T^{2}:\ldots :T^{n}].$

V afinih koordinatah za $x_{0}\ \neq \ 0$ je preslikava

$\nu :x\mapsto (x,x^{2},\ldots ,x^{n}).$

To pomeni, da je racionalna normalna krivulja zaprtje z eno točko v neskončnosti afine krivulje $(x,x^{2},\dots ,x^{n})$.

Lastnosti

• vsaka točka na C je linearno neodvisna. Nahaja se v $\mathbb {P} ^{n}$. Ta lastnost loči racionalno normalno krivuljo od vseh ostalih.
• za dane n + 3 točke v $\mathbb {P} ^{n}$, ki se nahajajo v splošnem položaju, kar pomeni, da n + 1 točk ne leži v hiperravnini. Skozi nje poteka racionalna normalna krivulja. Krivuljo lahko nedvoumno določimo s pomočjo parameterizacije tako, da po preureditvi leži n + 1 točk na koordinatnih oseh, nato pa preslikamo drugi dve točki v [S : T] = [0 : 1] in [S : T] = [1 : 0]
• tangentna in sekantna premica racionalne normalne krivulje sta paroma disjunktni, razen v točkah same krivulje.

Znanih je ${\binom {n+2}{2}}-2n-1$ neodvisnih kvadrikov, ki generirajo ideal krivulje.

Glej tudi

• modularna krivulja