Prisekan kubooktaeder

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prisekan kubooktaeder
Truncatedcuboctahedron.jpg
Vrsta arhimedsko telo
uniformni polieder
Elementi F = 26, E = 72,
V =48 ( \chi \, = 2)
Stranske ploskve na stranico 12{4}+8{6}+6{8}
Schläflijev simbol t0,1,2{4,3}
Wythoffov simbol 2 3 4|
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Simetrija Oh, BC3, [4,3],

(*432), red 48

Vrtilna grupa O, [4,3]+, (432), red 24
Diederski kot 4-6: cos(-sqrt(6)/3 = 144º44′08″
4-8: cos(-sqrt(2)/3) = 135º
6-8: cos(sqrt-(3)/3) = 125º15′51″
Sklici U11, C23, W15
Lastnosti
polpravilni konveksni zonoeder
Great rhombicuboctahedron.png
obarvane stranske ploskve
Great rhombicuboctahedron vertfig.png
4.6.8
(slika oglišč)
Disdyakisdodecahedron.jpg disdiakisni dodekaeder
(dualni polieder)
Truncated cuboctahedron flat.svg
mreža telesa

Prisekan kubooktaeder je arhimedsko telo. Ima 12 kvadratih, 8 pravilnih šestkotnih in 6 pravilnih osemkotnih stranskih ploskev. Razen tega ima tudi 48 oglišč in 72 robov. Ker ima vsaka stranska ploskev točkovno simetrijo, kar je enakovredno vrtilni simetriji, je to telo tudi zonoeder.

Kartezične koordinate[uredi | uredi kodo]

kartezične koordinate oglišč prisekanega kubooktaedra, ki ima dolžino roba 2 in leži v izhodišču so vse permutacije vrednosti

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2)).

Površina in prostornina[uredi | uredi kodo]

Površina (P) in prostornina (V) prisekanega oktaedra z dolžino roba a je

A = 12(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}) a^2 \approx 61,7551724a^2
V = (22+14\sqrt{2}) a^3 \approx 41,7989899a^3.

Oglišča[uredi | uredi kodo]

Da poiščemo število oglišč, je pomembno to, da je vsako oglišče stičišče kvadrata, šestkotnika in osemkotnika.

Dualno telo[uredi | uredi kodo]

Uniformna barvanja[uredi | uredi kodo]

Obstoja samo ena oblika uniformnega barvanja stranskih ploskev tega poliedra. To vključuje po eno barvo za vsako stransko ploskev.

2-uniformno barvanje tudi obstoja z izmenoma obarvanimi šestkotniki.

Druga imena[uredi | uredi kodo]

Izmenoma se uporabljajo tudi drugačna imena za prisekan kubooktaeder:

  • rombiprisekan kubooktaeder [1]
  • veliki rombikubooktaeder [2]
  • veliki rombkubooktaeder [3]

Ime prisekan kubooktaeder je dal telesu nemški astrolog, astronom in matematik Johannes Kepler (1571 – 1630). To ime je malo zavajoče. Če prisekamo kubooktaeder tako, da odstranimo oglišča, ne dobimo takšnega uniformnega telesa. Nekatere stranske ploskve bi bile pravokotniki. Rezultirajoče telo je topološko enakovredno prisekanemu kubooktaedru, ki ga vedno lahko spremenimo, dokler so stranske ploskve pravilne.

Drugo ime velikega rombikubooktaedra se nanaša na dejstvo, da 12 kvadratnih stranskih ploskev leži v isti ravnini kot 12 stranskih ploskev rombskega dodekaedra, ki pa je dual kubooktaedra.

Ameriški matematik Norman Johnson (*1930) je telo imenoval omniprisekana kocka ali kantiprisekana kocka.

Pravokotne projekcije[uredi | uredi kodo]

Prisekan kubooktaeder ima dva posebni pravokotni projekciji v ravninah A2 in B2 Coxeterjevih ravnina s projektivno simetrijo [6] in [8]. Številne simetrije lahko konstruiramo iz različnih projektivnih ravnin v odvisnosti od elementov poliedrov.

Pravokotne projekcije
Usrediščeno na Oglišče Rob
4-6
Rob
4-8
Rob
6-8
Pravokotnica na stransko ploskev
4-6
Slika Cube t012 v.png Cube t012 e46.png Cube t012 e48.png Cube t012 e68.png Cube t012 f46.png
Projektivna
simetrija
[2]+ [2] [2] [2] [2]
Usrediščeno na Pravokotnica na stransko ploskev
Kvadrat
Pravokotnica na stransko ploskev
Osemkotnik
Stranska ploskev
Kvadrat
Stranska ploskev
Šestkotnik
Stranska ploskev
Osemkotnik
Slika Cube t012 af4.png Cube t012 af8.png Cube t012 f4.png 3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg
Projektivna
simetrija
[2] [2] [2] [6] [8]

Sorodni poliedri[uredi | uredi kodo]

Vsak prisekan kubooktaeder je eden izmed članov družine uniformnih poliedrov, ki so sorodni kocki in pravilnemu oktaedru.

Družina uniformnih oktaederskih poliedrov
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t0,1{3,4} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} {4,3} h0{4,3} h1,2{4,3}
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png

Ta polieder se lahko obravnava kot zaporedje uniformnih vzorcev, ki imajo sliko oglišč (4.6.2p) ter Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png. Za p < 6 so člani zaporedja omniprisekani poliedri (zonoedri), ki so prikazani spodaj kot sferno tlakovanje. Za p > 6 so to tlakovanja hiperbolične ravnine, ki se prične s trisedemkotnim tlakovanjem.

Simetrija Sferna Ravninska Hiperbolična
*232
[2,3]
D3h
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
P6m
*732
[7,3]
 
*832
[8,3]
 
*∞32
[∞,3]
 
Red 12 24 48 120
Omniprisekana
oblika
Spherical truncated trigonal prism.png
4.6.4
Uniform tiling 332-t012.png
4.6.6
Uniform tiling 432-t012.png
4.6.8
Uniform tiling 532-t012.png
4.6.10
Uniform polyhedron-63-t012.png
4.6.12
Uniform tiling 73-t012.png
4.6.14
Uniform tiling 83-t012.png
4.6.16
H2 tiling 23i-7.png
4.6.∞
Coxeter
Schläfli
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{5,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{6,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{7,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{8,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{∞,3}
Omniprisekani
duali
Hexagonale bipiramide.png
V4.6.4
Tetrakishexahedron.jpg
V4.6.6
Disdyakisdodecahedron.jpg
V4.6.8
Disdyakistriacontahedron.jpg
V4.6.10
Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
V4.6.12
Order-3 heptakis heptagonal tiling.png
V4.6.14
V4.6.16 V4.6.∞
Coxeter CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 5.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 6.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 8.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel infin.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Wenninger, Magnus (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, MR0467493  (Model 15, p. 29)
  2. ^ Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). (p. 82)
  3. ^ http://books.google.si/books?id=OJowej1QWpoC&lpg=PP1&pg=PA82&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false (poglavje 3-9, s. 82)

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]