Hiperbolično število

Del ravnine hiperboličnih števil s prikazanimi podmnožicami, ki imajo absolutno vrednost 0 (rdeče), 1 (modro) in -1 (zeleno).

Hiperbolično število (tudi kompleksno število hiperboličnega tipa ali razcepljeno kompleksno število) je v abstraktni algebri dvorazsežna komutativna algebra nad realnimi števili, ki se razlikujejo od kompleksnih števil. Vsako hiperbolično število lahko zapišemo v obliki

$x+yj\,$

kjer je

• $x\,$ realno število
• $y\,$ realno število
• $j\,$ število podobno imaginarni enoti, razen, da zanj velja

$j^{2}=1\,$ tako, da pri tem upoštevamo samo nerealne korene.

Značilnosti

Seštevanje je definirano kot

$(x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)\,$

Množenje pa je definirano z

$(x+jy)(u+jv)=(xu+yv)+j(xv+yu)\,$

Velja tudi zakon komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti.

Konjugirano število

Podobno kot pri običajnih kompleksnih številih je tudi za hiperbolično števil $z=x+jy\,$ konjugirano število določeno kot

$z=x^{*}-jy\,$.

Konjugirana vrednost zadošča podobnim značilnostim kot običajna kompleksna števila:

$(z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}\,$

$(zw)^{*}=z^{*}w^{*}\,$

$(z^{*})^{*}=z\,$

Velja pa tudi

$(zw)^{*}=|z||w|\,$.

Geometrija

Množica točk $z\,$ za katere velja $z:\lVert z\rVert =a^{2}\,$ je hiperbola za vse ${a}$ iz $\mathbb {R}$, ki so različni od nič. Hiperbola je sestavljena iz dveh vej, ki gresta skozi točki $(a,0)$ in $(-a,0)$. Kadar je $a=1$ dobimo enotsko hiperbolo. Konjugirana hiperbola pa je določena z

$\{z:\lVert z\rVert =-a^{2}\}$

Matrična predstavitev

Hiperbolična števila se zelo lepo prikažejo tudi z matriko. Hiperbolično število $z=x+j.y=1.x+j.y\,$ lahko prikažemo kot matriko

$z\mapsto {\begin{bmatrix}x&y\\y&x\end{bmatrix}}.$,

ker je

$1\mapsto {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

in

$j\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$.

Eulerjeva formula, ki velja za hiperbolična kompleksna števila ima obliko:

$\exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).\,$.

Absolutna vrednost

Absolutna vrednost hiperboličnega kompleksnega števila $z=x+jy\,$ je enaka

$\vert z\vert =z.z^{*}=z^{*}.z=x^{2}-y^{2}\,$.

Zgodovina

Uporaba razcepljenih kompleksnih števil se je pričela že v letu 1848, ko je angleški odvetnik in matematik James Cockle (1819 – 1895) odkril tesarine. Angleški matematik in filozof William Kingdom Clifford (1845 - 1879) je uporabil razcepljena kompleksna števila za prikaz vsote spinov. Clifford je pričel z uporabo razcepljenih kompleksnih števil kot koeficientov v kvaternionski algebri, ki jih sedaj imenujemo razcepljeni bikvaternioni. Clifford jih je imenoval motorji (predstavljajo vrtenje in premik- translacijo) v skladu z rotorji (predstavljajo vrtenje), ki pa se izvajajo nad običajnimi kompleksnimi števili (iz krožne grupe)

Sopomenke

Za hiperbolična števila se uporabljajo različna imena (sinonimi). Najbolj pogosta so

• (realna) tesarina
• (algebrajski) motor
• hiperbolično kompleksno število
• birealno število
• hiperbolično število iz Muséjevih hiperštevil
• dualno število
• nenormalno kompleksno število
• perpleksno število
• Lorentzovo število
• razcepljeno kompleksno število
• prostorsko-časovno število
• dvokompleksno število

Zunanje povezave

• Hiperbolična števila (angleško)
• Uvod v algebrske motorje (angleško)