Nevtralni element

Enak element ali identiteta I (označen tudi z E (nemško Einheit; enota), e ali 1) grupe, oziroma pripadajoče matematične strukture S je v matematiki poseben edini element, za katerega za vsak a $\in$ S velja:

e a = a e = a.

Enak element imenujemo tudi enotski element. Na levi strani predpisa je levi enak element' in na desni desni enak element. Če je e hkrati levi in desni enak element, ga imenujemo tudi dvostrani enak element.

Primeri

• Če (S, *) označuje množico realnih števil, zaprto za seštevanje, je število 0 enak element.
• Če (S, *) označuje množico realnih števil, zaprto za množenje, je enak element število 1.
• Če (S, *) označuje množico n ×, n kvadratnih matrik, zaprto za seštevanje, je enak element ničta matrika.
• Če (S, *) označuje množico n ×, n kvadratnih matrik, zaprto za množenje, je enak element enotska matrika.
• Če (S, *) označuje množico vseh funkcij množice M same vase, zaprto za operacijo sestave (kompozicije), je enak element enaka mreža.
• Če ima množica S samo dva elementa, e in f in je v njej določena aritmetična operacija z e * e = f * e = e in f * f = e * f = f, sta e in f leva enaka elementa. Desnega ali dvostranega enakega elementa v takšni množici potem ni.

Kot kaže zadnji primer lahko ima par (S, *) več levih enakih elementov. V bistvu je lahko vsak element levi enak element. Podobno lahko obstoje tudi desni enaki elementi. Če obstajajo hkrati levi in desni enaki elementi, so enaki in tako obstajajo samo dvostrani enaki elementi. To lahko vidimo, če označimo l kot levi enak element in r kot desni enak element. Potem je l = l * r = r.

Če je e enak element para (S, *) in a * b = e, potem element a imenujemo levi obratni element (inverz) elementa b in b desni obratni element elementa a. Če je element x hkrati levi in desni obratni element y, ga imenujemo dvostrani obratni element, oziroma enostavno obratni element y.

Podobno kakor pri enakih elementih ima lahko element y veè levih obratnih elementov in tudi več levih in hkrati več desnih obratnih elementov. Če pa je operacija asociativna so obratni elementi enaki, če obstajajo za element y hrati levi in desni obratni elementi.

Glej tudi

• aditivni inverz, dvočleni operator, involucija (grupe), monoid, komutativni monoid, matematična polgrupa, matematična kvazigrupa.