Seznam grup ravninske simetrije: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina

Znotrajvrstično

Redakcija: 11:34, 8. marec 2021

Seznam grup ravninske simetrije vsebuje razrede nezveznih ravninskih simetrijskih grup. Vsaka grupa je določena s tremi načini notacije. Te notacije so mednarodna notacija (tukaj označena kot IUC), notacija orbifold in Coxeterjeva notacija.

Uporabljajo se tri vrste grup simetrije v ravnini:

2 grupi rozete, ki sta dvorazsežni točkovni grupi
2 frizijski grupi, ki sta dvorazsežni grupi
17 tapetnih grup, ki so dvorazsežne prostorske grupe

Grupa rozete

Znani sta dve družini nezveznih dvorazsežnih točkovnih grup. Določena je s parametrom n, ki predstavlja red grup rotacij.

družina	mednarodna notacija (notacija orbifold )	geo ^[1]	Schönflies	Coxeter	red	primer
ciklična simetrija	n (nn)	n	C_n	[n]⁺	n	5-kratno vrtenje
diedrska simetrija	nm (*nn)	n	D_n	[n]	2n	4-kratno zrcaljenje

Frizijske grupe

Sedem frizijskih grup, ki so dvorazsežne grupe na premici s smerjo, ki je dana s petimi imeni notacij. Schönfliesova notacija je dana z neskončno limito sedmih 7 diedrskih grup. Rumena področja predstavljajo neskončno osnovno domeno v vsaki. Enostavni primer je prikazan kot periodično tlakovanje na valju s periodičnostjo 6.

[∞,1],

IUC (orbifold)	geo	Schönflies	Coxeter	osnovna domena	primer
p1 (∞∞)	p1	C_∞	[∞,1]⁺
p1m1 (*∞∞)	p1	C_∞v	[∞,1]

[∞⁺,2],

IUC (orbifold)	geo	Schönflies	Coxeter	osnovna domena	primer
p11g (∞x)	p._g1	S_2∞	[∞⁺,2⁺]
p11m (∞*)	p.1	C_∞h	[∞⁺,2]

[∞,2],

IUC (orbifold)	geo	Schönflies	Coxeter
p2 (22∞)	p2	D_∞	[∞,2]⁺
p2mg (2*∞)	p2_g	D_∞d	[∞,2⁺]
p2mm (*22∞)	p2	D_∞h	[∞,2]

Tapetne grupe

17 tapetnih grup s končnimi osnovnimi domenami je prikazanih z mednarodno notacijo, notacijo orbifold in Coxeterjevo notacijo, razvrščene v 5 Bravaisovih mrež v ravnini: kvadrato, poševnokotno (paralelogramsko), heksagonalno (60 stopinjsko rombsko), pravokotno in centrirano pravokotno (rombsko).

Grupe p1 in p2, ki nimajo zrcalne simetrije, se ponavljajo v vseh razredih. Podobna zrcalna Coxeterjeva grupa je podana v vseh razredih razen v nagnjenih.

kvadratni , [4,4],

IUC (orbifold)	Coxeter	osnovna domena
p1 (o)	p1 [∞⁺,2,∞⁺]
p2 (2222)	p2 [1⁺,4,4]⁺
p2gg pgg (22x)	p_g2_g [4⁺,4⁺]
p2mm pmm (*2222)	p2 [1⁺,4,4]
c2mm cmm (2*22)	c2 [[4⁺,4⁺]]
p4 (442)	p4 [4,4]⁺
p4gm p4g (4*2)	p_g4 [4⁺,4]
p4mm p4m (*442)	p4 [4,4]

paralelogramski (nagnjeni)

p1 (o)	p1 [∞⁺,2,∞⁺]
p2 (2222)	p2 [∞,2,∞]⁺

šestkotniški [6,3],

IUC (orbifold)	Coxeter	osnovna domena
p1 (o)	p1 [∞⁺,2,∞⁺]
p2 (2222)	p2 [∞,2,∞]⁺
p3 (333)	p3 [1⁺,6,3⁺]
p3m1 (*333)	p3 [1⁺,6,3]
p31m (3*3)	h3 [6,3⁺]
c2mm cmm (2*22)	c2 [∞,2⁺,∞]
p6 (632)	p6 [6,3]⁺
p6mm p6m (*632)	p6 [6,3]

šestkotniški [3^[3]],

p3 (333)	p3 [3^[3]]⁺
p3m1 (*333)	p3 [3^[3]]
p31m (3*3)	h3 [3[3^[3]]⁺]
p6 (632)	p6 [3[3^[3]]]⁺
p6mm p6m (*632)	p6 [3[3^[3]]]

pravokotniški, [∞_h,2,∞_v],

IUC (orbifold)	Coxeter	osnovna domena
p1 (o)	p1 [∞⁺,2,∞⁺]
p2 (2222)	p2 [∞,2,∞]⁺
p11g pg(h) (xx)	p_g1 h: [∞⁺,(2,∞)⁺]
p1g1 pg(v) (xx)	p_g1 v: [(∞,2)⁺,∞⁺]
p2gm pgm (22*)	p_g2 h: [(∞,2)⁺,∞]
p2mg pmg (22*)	p_g2 v: [∞,(2,∞)⁺]
p11m pm(h) (**)	p1 h: [∞⁺,2,∞]
p1m1 pm(v) (**)	p1 v: [∞,2,∞⁺]
p2mm pmm (*2222)	p2 [∞,2,∞]

rombski, [∞_h,2⁺,∞_v],

p1 (o)	p1 [∞⁺,2,∞⁺]
p2 (2222)	p2 [∞,2,∞]⁺
c11m cm(h) (*x)	c1 h: [∞⁺,2⁺,∞]
c1m1 cm(v) (*x)	c1 v: [∞,2⁺,∞⁺]
p2gg pgg (22x)	p_g2_g [∞⁺,2⁺,∞⁺]
c2mm cmm (2*22)	c2 [∞,2⁺,∞]

Sklici

↑ The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]

Zunanje povezave

[1] The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]

[1]

@@ Vrstica 1: / Vrstica 1: @@
-'''Seznam grup ravninske simetrije''' vsebuje razrede   nezveznih ravninskih [[simetrijska grupa|simetrijskih grup]]. Vsaka grupa je določena s tremi načini notacije. Te notacije so [[Hermann-Mauguinova notacija|mednarodna notacija]] (tukaj označena kot IUC), [[notacija orbifold]] in [[Coxeterjeva notacija]].
+'''Seznam grup ravninske simetrije''' vsebuje razrede nezveznih ravninskih [[simetrijska grupa|simetrijskih grup]]. Vsaka grupa je določena s tremi načini notacije. Te notacije so [[Hermann-Mauguinova notacija|mednarodna notacija]] (tukaj označena kot IUC), [[notacija orbifold]] in [[Coxeterjeva notacija]].
 Uporabljajo se tri vrste grup simetrije v ravnini:
 * 2 [[točkovna grupa|grupi rozete]], ki sta dvorazsežni [[točkovna grupa|točkovni grupi]]
 * 2 [[frizijska grupa|frizijski grupi]], ki sta dvorazsežni [[grupa|grupi]]
 * 17 [[tapetna grupa|tapetnih grup]], ki so dvorazsežne [[prostorska grupa|prostorske grupe]]
@@ Vrstica 13: / Vrstica 13: @@
 |-
 !družina
-! [[Hermann–Mauguinova notacija|mednarodna notacija]] <BR>([[notacija orbifold ]])
+! [[Hermann–Mauguinova notacija|mednarodna notacija]] <BR>([[notacija orbifold]] )
 ! geo<BR><ref>''The Crystallographic Space groups in Geometric algebra'', D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) [[PDF]] [http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/CrystalGA.pdf]</ref>
-! [[Schönfliesova_notacija|Schönflies]]
+! [[Schönfliesova notacija|Schönflies]]
 ![[Coxeterjeva notacija|Coxeter]]
 ! red
@@ Vrstica 44: / Vrstica 44: @@
 |- valign=top
 |
-;<center>[∞,1], {{CDD|node|infin|node}}</center>
+;<div  style="text-align: center;">[∞,1], {{CDD|node|infin|node}}</div>
 {| class=wikitable
 ![[notacija IUC|IUC]]<BR>([[notacija orbifold|orbifold]])
 !geo
-![[Schönfliesova_notacija|Schönflies]]
+![[Schönfliesova notacija|Schönflies]]
 ![[Coxeterjeva notacija|Coxeter]]
 !osnovna<BR>domena
@@ Vrstica 58: / Vrstica 58: @@
 |}
-;<center>[∞<sup>+</sup>,2], {{CDD|node|2|node|infin|node}}</center>
+;<div style="text-align: center;">[∞<sup>+</sup>,2], {{CDD|node|2|node|infin|node}}</div>
 {| class=wikitable
 !IUC<BR>(orbifold)
@@ Vrstica 72: / Vrstica 72: @@
 |}
 |
-;<center>[∞,2], {{CDD|node|2|node|infin|node}}</center>
+;<div style="text-align: center;">[∞,2], {{CDD|node|2|node|infin|node}}</div>
 {| class=wikitable
 !IUC<BR>(orbifold)
@@ Vrstica 92: / Vrstica 92: @@
 == Tapetne grupe ==
-[[tapetna grupa|tapetnih grup]] s končnimi osnovnimi domenami je prikazanih z [[Hermann-Mauguinova notacija|mednarodno notacijo]], [[notacija orbifold|notacijo orbifold]] in  [[Coxeterjeva notacija|Coxeterjevo notacijo]], razvrščene v 5 [[Bravaisova mreža|Bravaisovih mrež]] v ravnini: [[kvadrat]]o, poševnokotno (paralelogramsko), heksagonalno (60 stopinjsko rombsko), pravokotno in centrirano pravokotno (rombsko).
+[[tapetna grupa|tapetnih grup]] s končnimi osnovnimi domenami je prikazanih z [[Hermann-Mauguinova notacija|mednarodno notacijo]], [[notacija orbifold|notacijo orbifold]] in [[Coxeterjeva notacija|Coxeterjevo notacijo]], razvrščene v 5 [[Bravaisova mreža|Bravaisovih mrež]] v ravnini: [[kvadrat]]o, poševnokotno (paralelogramsko), heksagonalno (60 stopinjsko rombsko), pravokotno in centrirano pravokotno (rombsko).
 Grupe ''p1'' in ''p2'', ki nimajo zrcalne simetrije, se ponavljajo v vseh razredih. Podobna zrcalna [[Coxeterjeva grupa]] je podana v vseh razredih razen v nagnjenih.
@@ Vrstica 99: / Vrstica 99: @@
 |- valign=top align=center
 |
-;[[kvadrat|kvadratni]] , [4,4], {{CDD|node|4|node|4|node}}
+;[[kvadrat]]ni , [4,4], {{CDD|node|4|node|4|node}}
 {| class=wikitable
 ![[IUC notacija|IUC]]<BR>([[notacija orbifold|orbifold]])
@@ Vrstica 105: / Vrstica 105: @@
 !osnovna<BR>domena
 |- align=center
-| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[&infin;<sup>+</sup>,2,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1 square.svg|80px]]
+| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1 square.svg|80px]]
 |- align=center
 | p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[1<sup>+</sup>,4,4]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2 square.svg|80px]]
@@ Vrstica 121: / Vrstica 121: @@
 |p4mm<BR>p4m<BR>(*442)||p4<BR>[4,4]||[[Slika:Wallpaper group diagram p4m_square.svg|80px]]
 |}
-; [[paralelogram|paralelogramski]] (nagnjeni)
+; [[paralelogram]]ski (nagnjeni)
 {| class=wikitable
 |- align=center
-| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[&infin;<sup>+</sup>,2,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1.svg|110px]]
+| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1.svg|110px]]
 |- align=center
-| p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[&infin;,2,&infin;]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2.svg|110px]]
+| p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[∞,2,∞]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2.svg|110px]]
 |}
 |
@@ Vrstica 135: / Vrstica 135: @@
 !osnovna<BR>domena
 |- align=center
-| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[&infin;<sup>+</sup>,2,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1 half.svg|120px]]
+| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1 half.svg|120px]]
 |- align=center
-| p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[&infin;,2,&infin;]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2 half.svg|120px]]
+| p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[∞,2,∞]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2 half.svg|120px]]
 |- align=center
 |p3<BR>(333)||p{{overline|3}}<BR>[1<sup>+</sup>,6,3<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p3.svg|120px]]
@@ Vrstica 145: / Vrstica 145: @@
 | p31m<BR>(3*3)||h3<BR>[6,3<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p31m.svg|120px]]
 |- align=center
-| c2mm<BR>cmm<BR>(2*22)||c2<BR>[&infin;,2<sup>+</sup>,&infin;]||[[Slika:Wallpaper group diagram cmm half.svg|120px]]
+| c2mm<BR>cmm<BR>(2*22)||c2<BR>[∞,2<sup>+</sup>,∞]||[[Slika:Wallpaper group diagram cmm half.svg|120px]]
 |- align=center
 | p6<BR>(632)||p{{overline|6}}<BR>[6,3]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p6.svg|120px]]
@@ Vrstica 165: / Vrstica 165: @@
 |}
 |
-;[[pravokotnik|pravokotniški]], [&infin;<sub>h</sub>,2,&infin;<sub>v</sub>], {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}
+;[[pravokotnik|pravokotniški]], [∞<sub>h</sub>,2,∞<sub>v</sub>], {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}
 {| class=wikitable
 !IUC<BR>(orbifold)
@@ Vrstica 171: / Vrstica 171: @@
 !osnovna<BR>domena
 |- align=center
-| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[&infin;<sup>+</sup>,2,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1 rect.svg|100px]]
+| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1 rect.svg|100px]]
 |- align=center
-| p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[&infin;,2,&infin;]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2 rect.svg|100px]]
+| p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[∞,2,∞]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2 rect.svg|100px]]
 |- align=center
-| p11g<BR> pg(h)<BR>(xx)||p<sub>g</sub>1<BR>h: [&infin;<sup>+</sup>,(2,&infin;)<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pg.svg|100px]]
+| p11g<BR> pg(h)<BR>(xx)||p<sub>g</sub>1<BR>h: [∞<sup>+</sup>,(2,∞)<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pg.svg|100px]]
 |- align=center
-| p1g1<BR> pg(v)<BR>(xx)||p<sub>g</sub>1<BR>v: [(&infin;,2)<sup>+</sup>,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pg rotated.svg|90px]]
+| p1g1<BR> pg(v)<BR>(xx)||p<sub>g</sub>1<BR>v: [(∞,2)<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pg rotated.svg|90px]]
 |- align=center
-| p2gm<BR>pgm<BR>(22*)||p<sub>g</sub>2<BR>h: [(&infin;,2)<sup>+</sup>,&infin;]||[[Slika:Wallpaper group diagram pmg.svg|100px]]
+| p2gm<BR>pgm<BR>(22*)||p<sub>g</sub>2<BR>h: [(∞,2)<sup>+</sup>,∞]||[[Slika:Wallpaper group diagram pmg.svg|100px]]
 |- align=center
-| p2mg<BR>pmg<BR>(22*)||p<sub>g</sub>2<BR>v: [&infin;,(2,&infin;)<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pmg rotated.svg|90px]]
+| p2mg<BR>pmg<BR>(22*)||p<sub>g</sub>2<BR>v: [∞,(2,∞)<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pmg rotated.svg|90px]]
 |- align=center
-| p11m<BR>pm(h)<BR>(**)||p1<BR>h: [&infin;<sup>+</sup>,2,&infin;]||[[Slika:Wallpaper group diagram pm.svg|100px]]
+| p11m<BR>pm(h)<BR>(**)||p1<BR>h: [∞<sup>+</sup>,2,∞]||[[Slika:Wallpaper group diagram pm.svg|100px]]
 |- align=center
-| p1m1<BR>pm(v)<BR>(**)||p1<BR>v: [&infin;,2,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pm rotated.svg|90px]]
+| p1m1<BR>pm(v)<BR>(**)||p1<BR>v: [∞,2,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pm rotated.svg|90px]]
 |- align=center
-| p2mm<BR>pmm<BR>(*2222)||p2<BR>[&infin;,2,&infin;]||[[Slika:Wallpaper group diagram pmm.svg|100px]]
+| p2mm<BR>pmm<BR>(*2222)||p2<BR>[∞,2,∞]||[[Slika:Wallpaper group diagram pmm.svg|100px]]
 |}
-;[[romb|rombski]], [&infin;<sub>h</sub>,2<sup>+</sup>,&infin;<sub>v</sub>], {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}
+;[[romb]]ski, [∞<sub>h</sub>,2<sup>+</sup>,∞<sub>v</sub>], {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}
 {| class=wikitable
 |- align=center
-| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[&infin;<sup>+</sup>,2,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg|90px]]
+| p1<BR>(o)||p{{overline|1}}<BR>[∞<sup>+</sup>,2,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg|90px]]
 |- align=center
-| p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[&infin;,2,&infin;]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2 rhombic.svg|90px]]
+| p2<BR>(2222)||p{{overline|2}}<BR>[∞,2,∞]<sup>+</sup>||[[Slika:Wallpaper group diagram p2 rhombic.svg|90px]]
 |- align=center
-| c11m<BR>cm(h)<BR>(*x)||c1<BR>h: [&infin;<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,&infin;]||[[Slika:Wallpaper group diagram cm.svg|100px]]
+| c11m<BR>cm(h)<BR>(*x)||c1<BR>h: [∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞]||[[Slika:Wallpaper group diagram cm.svg|100px]]
 |- align=center
-| c1m1<BR>cm(v)<BR>(*x)||c1<BR>v: [&infin;,2<sup>+</sup>,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram cm rotated.svg|90px]]
+| c1m1<BR>cm(v)<BR>(*x)||c1<BR>v: [∞,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram cm rotated.svg|90px]]
 |- align=center
-| p2gg<BR>pgg<BR>(22x)||p<sub>g</sub>2<sub>g</sub><BR>[&infin;<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,&infin;<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg|90px]]
+| p2gg<BR>pgg<BR>(22x)||p<sub>g</sub>2<sub>g</sub><BR>[∞<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>,∞<sup>+</sup>]||[[Slika:Wallpaper group diagram pgg rhombic.svg|90px]]
 |- align=center
-| c2mm<BR>cmm<BR>(2*22)||c2<BR>[&infin;,2<sup>+</sup>,&infin;]||[[Slika:Wallpaper group diagram cmm.svg|100px]]
+| c2mm<BR>cmm<BR>(2*22)||c2<BR>[∞,2<sup>+</sup>,∞]||[[Slika:Wallpaper group diagram cmm.svg|100px]]
 |}