Möbiusov trak: Razlika med redakcijama
m m+/dp |
m m+/dp/+siz/slog |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
[[Slika:Möbius strip.jpg|thumb|right|250px|Möbiusov trak]] |
[[Slika:Möbius strip.jpg|thumb|right|250px|Möbiusov trak]] |
||
'''Möbiusov trák''' [mébijusov] (oziroma Möbiusova ploskev) je v [[topologija|topologiji]] (prva odkrita) enostranska in neorientabilna [[ploskev]] z [[rob (geometrija)|robom]]. Imenuje se po nemškem matematiku in astronomu [[August Ferdinand Möbius|Augustu Ferdinandu Möbiusu]], ki je bil s tem odkritjem eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta [[1858 v znanosti|1858]] proučeval tudi nemški matematik [[Johann Benedict Listing]]. |
'''Möbiusov trák''' [mébijusov] (oziroma Möbiusova ploskev) je v [[topologija|topologiji]] (prva odkrita) enostranska in neorientabilna [[ploskev]] z [[rob (geometrija)|robom]]. Imenuje se po nemškem matematiku in astronomu [[August Ferdinand Möbius|Augustu Ferdinandu Möbiusu]], ki je bil s tem odkritjem eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta [[1858 v znanosti|1858]] proučeval tudi nemški matematik [[Johann Benedict Listing]]. |
||
[[slika:Aion mosaic Glyptothek Munich W504.jpg|thumb|right|250px|Starorimski mozaik z Möbiusovim trakom]] |
|||
== Značilnosti == |
== Značilnosti == |
||
Vrstica 6: | Vrstica 7: | ||
Möbiusov trak je zgled za [[neorientabilna ploskev|neorientabilno ploskev]]. V vsaki [[točka (geometrija)|točki]] se lahko postavi dve [[normala|normali]], ne da pa se na traku ločiti dveh normiranih normalnih polj. Če se stopi nanj v kaki ekvatorialni točki, se zravna po eni od normalnih smeri, recimo navzgor in se napoti po njegovem ravniku, se vrne v začetno točko, toda obrnjeno navzdol. Polje se zvezno spreminja vzdolž [[pot]]i in po obhodu, ob povratku v začetno točko, zavzame v njej nasprotno vrednost. Zvezno polje, v vsaki točki natanko določeno, tega ne more storiti. Na Möbiusovem traku ni polja, ki bi govorilo o usmerjenosti. Lepo sliko Möbiusovega traku se dobi, če se ga riše v parametričnih koordinatah: |
Möbiusov trak je zgled za [[neorientabilna ploskev|neorientabilno ploskev]]. V vsaki [[točka (geometrija)|točki]] se lahko postavi dve [[normala|normali]], ne da pa se na traku ločiti dveh normiranih normalnih polj. Če se stopi nanj v kaki ekvatorialni točki, se zravna po eni od normalnih smeri, recimo navzgor in se napoti po njegovem ravniku, se vrne v začetno točko, toda obrnjeno navzdol. Polje se zvezno spreminja vzdolž [[pot]]i in po obhodu, ob povratku v začetno točko, zavzame v njej nasprotno vrednost. Zvezno polje, v vsaki točki natanko določeno, tega ne more storiti. Na Möbiusovem traku ni polja, ki bi govorilo o usmerjenosti. Lepo sliko Möbiusovega traku se dobi, če se ga riše v parametričnih koordinatah: |
||
: <math> x (u, v) = 1 + {v |
: <math> x (u, v) = \left( 1 + \frac{v}{2} \cos \frac{u}{2} \right) \cos u \!\, , </math> |
||
: <math> y (u, v) = 1 + {v |
: <math> y (u, v) = \left( 1 + \frac{v}{2} \cos \frac{u}{2} \right) \sin u, \qquad |
||
(0 |
(0 \le u < 2 \pi) \!\, , </math> |
||
: <math> z (u, v) = {v |
: <math> z (u, v) = \frac{v}{2} \sin \frac{u}{2}, \qquad |
||
(-1 |
(-1 \le v \le 1) \!\, . </math> |
||
S tem se dobi Möbiusov trak širine [[1 (število)|1]], katerega središčni [[krog]] ima [[polmer]] 1, leži na ravnini ''x''-''y'' in ima središče v (0,0,0). Parameter ''u'' teče okrog traku, ''v'' pa od enega robu do drugega. |
S tem se dobi Möbiusov trak širine [[1 (število)|1]], katerega središčni [[krog]] ima [[polmer]] 1, leži na ravnini ''x''-''y'' in ima središče v (0, 0, 0). Parameter ''u'' teče okrog traku, ''v'' pa od enega robu do drugega. |
||
V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnih polarnih koordinatah]] ( |
V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnih polarnih koordinatah]] <math> (r, \theta, z) \!\, </math> se lahko Möbiusov trak zapiše z enačbo: |
||
: <math> \log r \sin \ |
: <math> \log r \sin \frac{\theta}{2} = z \cos \frac{\theta}{2} \!\, . </math> |
||
== Glej tudi == |
== Glej tudi == |
Redakcija: 13:34, 5. februar 2020
Möbiusov trák [mébijusov] (oziroma Möbiusova ploskev) je v topologiji (prva odkrita) enostranska in neorientabilna ploskev z robom. Imenuje se po nemškem matematiku in astronomu Augustu Ferdinandu Möbiusu, ki je bil s tem odkritjem eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta 1858 proučeval tudi nemški matematik Johann Benedict Listing.
Značilnosti
Möbiusov trak je zgled za neorientabilno ploskev. V vsaki točki se lahko postavi dve normali, ne da pa se na traku ločiti dveh normiranih normalnih polj. Če se stopi nanj v kaki ekvatorialni točki, se zravna po eni od normalnih smeri, recimo navzgor in se napoti po njegovem ravniku, se vrne v začetno točko, toda obrnjeno navzdol. Polje se zvezno spreminja vzdolž poti in po obhodu, ob povratku v začetno točko, zavzame v njej nasprotno vrednost. Zvezno polje, v vsaki točki natanko določeno, tega ne more storiti. Na Möbiusovem traku ni polja, ki bi govorilo o usmerjenosti. Lepo sliko Möbiusovega traku se dobi, če se ga riše v parametričnih koordinatah:
S tem se dobi Möbiusov trak širine 1, katerega središčni krog ima polmer 1, leži na ravnini x-y in ima središče v (0, 0, 0). Parameter u teče okrog traku, v pa od enega robu do drugega.
V cilindričnih polarnih koordinatah se lahko Möbiusov trak zapiše z enačbo:
Glej tudi
Zunanje povezave
- Visual Math Animacija
- Weisstein, Eric Wolfgang. »Moebius Strip«. MathWorld.