Algebrska struktura: Razlika med redakcijama
m pp |
{{normativna kontrola}} |
||
Vrstica 54: | Vrstica 54: | ||
[[Kategorija:Algebrske strukture| ]] |
[[Kategorija:Algebrske strukture| ]] |
||
{{normativna kontrola}} |
Redakcija: 17:41, 19. september 2017
Algébrska struktúra (zastarelo algebrajska ali algebra(j)ična struktura) je v matematiki ime za množico skupaj z (vsaj eno) računsko operacijo, ki je definirana za elemente te množice. Algebrske strukture preučuje abstraktna algebra.
Temelj algebrske strukture se skriva v nekaterih osnovnih lasnostih, ki veljajo za določeno računsko operacijo. Te lastnosti imenujemo tudi aksiomi algebrske strukture. Algebra v nadaljevanju preučuje lastnosti, ki so posledice aksiomov. Bistvo takega dela je splošnost: če ugotovimo, da ima neka struktura določene lastnosti, lahko sklepamo, da te lastnosti veljajo v splošnem za vsako množico, ki ima takšno strukturo.
Najpomembnejše algebrske strukture
Grupa
Najosnovnejša algebrska struktura je grupa. To je množica M, v kateri lahko brez omejitev izvajamo neko računsko operacijo (tj: za poljubna dva elementa iz M je tudi rezultat operacije vedno element množice M). Operacijo v splošnem pišemo z znakom *. Za to operacijo morajo veljati naslednji aksiomi (za vsak a, b, c iz M):
- operacija je asociativna: a * (b * c) = (a * b) * c
- v množici obstaja nevtralni element e, tako da velja: a * e = e * a = a
- vsak element a ima svoj inverzni element a−1, tako da velja: a * a−1 = a−1 * a = e
Posebej zanimiv primer grupe je Abelova grupa. To je grupa v kateri poleg naštetih treh velja še četrti aksiom:
- operacija je komutativna: a * b = b * a
Obstaja veliko konkretnih množic, ki imajo strukturo grupe:
- Množica vseh celih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
- Množica vseh realnih števil z operacijo seštevanje je Abelova grupa
- Množica vseh od 0 različnih realnih števil z operacijo množenje je Abelova grupa
- Množica vseh funkcij z operacijo kompozitum je grupa, ni pa Abelova grupa.
Kolobar in obseg
Za abstraktno algebro so še bolj zanimive množice, v katerih sta definirani dve računski operaciji. Eno od operacij po navadi imenujemo seštevanje in jo označimo z znakom +, drugo pa imenujemo množenje in jo označimo z znakom · (ali zaradi splošnosti tudi *).
Táko množico K imenujemo kolobar, če je K za operacijo + Abelova grupa, poleg tega pa za množenje veljata asociativnostni in distributivnostni zakon.
Kolobar, ki vsebuje tudi nevtralni element za množenje, imenujemo kolobar z enoto. Če ima poleg tega vsak element kolobarja (razen elementa 0) svoj inverzni element za množenje, pravimo taki množici obseg. Obseg, v katerem je množenje komutativno, imenujemo komutativni obseg ali polje.
Znani komutativni obsegi so:
- obseg racionalnih števil
- obseg realnih števil
- obseg kompleksnih števil
Vektorski prostor
Nekoliko drugačna struktura z dvema računskima operacijama je vektorski prostor. Gre za posplošitev množice elementarnih trirazsežnih vektorjev).
Vektorski prostor je množica V, ki je za seštevanje Abelova grupa, druga računska operacija pa ni definirana v tej množici, pač pa povezuje elemente množice V z elementi nekega komutativnega obsega F. To operacijo imenujemo množenje vektorja s skalárjem in mora imeti podobne lastnosti kot ustrezna operacija v množici običajnih vektorjev v ravnini ali v trirazsežnem prostoru.
Zanimive primere vektorskih prostorov najdemo v množici funkcij.
Viri
- Prijatelj, Niko (1967). Matematične strukture 2 (Knjižnica Sigma (št. 15) izd.). Ljubljana: Mladinska knjiga. COBISS 17534209.