Gradient: Razlika med redakcijama
m Bot: Migracija 46 interwikija/-ev, od zdaj gostuje(-jo) na Wikipodatkih, na d:q173582 |
m m/dp |
||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
'''Gradiênt''' je diferencialna operacija, definirana nad [[skalarno polje|skalarnim]] ali [[vektorsko polje|vektorskim poljem]], ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient |
'''Gradiênt''' je v [[matematika|matematiki]] diferencialna operacija, definirana nad [[skalarno polje|skalarnim]] ali [[vektorsko polje|vektorskim poljem]], ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient se označuje z oznako »grad« ali simbolom <math>\nabla</math> ([[nabla]]). |
||
== Gradient skalarnega polja == |
== Gradient skalarnega polja == |
||
=== Kartezični koordinatni sistem === |
=== Kartezični koordinatni sistem === |
||
V |
V trirazsežnem [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] se gradient zapiše kot: |
||
:<math>\nabla f = \begin{pmatrix} |
: <math> \nabla f = \begin{pmatrix} |
||
{\frac{\partial f}{\partial x}}, |
{\frac{\partial f}{\partial x}}, |
||
{\frac{\partial f}{\partial y}}, |
{\frac{\partial f}{\partial y}}, |
||
{\frac{\partial f}{\partial z}} |
{\frac{\partial f}{\partial z}} |
||
\end{pmatrix}</math> |
\end{pmatrix} \!\, . </math> |
||
Pri tem je ''f''('''r''') skalarno polje, odvisno od [[krajevni vektor|krajevnega vektorja]] '''r''' = (''x'', ''y'', ''z''), oznake <math>\partial</math> pa označujejo [[parcialni odvod|parcialne odvode]] po vsaki od koordinat. |
Pri tem je ''f''('''r''') skalarno polje, odvisno od [[krajevni vektor|krajevnega vektorja]] '''r''' = (''x'', ''y'', ''z''), oznake <math>\partial</math> pa označujejo [[parcialni odvod|parcialne odvode]] po vsaki od koordinat. |
||
=== |
=== Splošni krivočrtni koordinatni sistem === |
||
===Cilindrični koordinatni sistem=== |
=== Cilindrični koordinatni sistem=== |
||
V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnem koordinatnem sistemu]] se gradient skalarnega polja ''f''('''r''') izraža kot: |
V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnem koordinatnem sistemu]] se gradient skalarnega polja ''f''('''r''') izraža kot: |
||
:<math>\nabla f = |
: <math> \nabla f = |
||
\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + |
\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + |
||
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi + |
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi + |
||
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e}_z |
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e}_z \!\, . </math> |
||
</math> |
|||
Pri tem je '''r'''=(''r'', ''φ'', ''z'') krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, '''e'''<sub>r</sub>, '''e'''<sub>φ</sub> in '''e'''<sub>z</sub> pa [[enotski vektor]]ji v smeri vsake od koordinatnih osi. |
Pri tem je '''r'''=(''r'', ''φ'', ''z'') krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, '''e'''<sub>r</sub>, '''e'''<sub>φ</sub> in '''e'''<sub>z</sub> pa [[enotski vektor]]ji v smeri vsake od koordinatnih osi. |
||
Vrstica 28: | Vrstica 29: | ||
V [[sferni koordinatni sistem|sfernem koordinatnem sistemu]] se gradient skalarnega polja ''f''('''r''') izraža kot: |
V [[sferni koordinatni sistem|sfernem koordinatnem sistemu]] se gradient skalarnega polja ''f''('''r''') izraža kot: |
||
:<math>\nabla f = |
: <math> \nabla f = |
||
\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + |
\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_r + |
||
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + |
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e}_\theta + |
||
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi |
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} \mathbf{e}_\phi \!\, . </math> |
||
</math> |
|||
Pri tem je '''r'''=(''r'', ''θ'', ''φ'') krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, '''e'''<sub>r</sub>, '''e'''<sub>θ</sub> in '''e'''<sub>φ</sub> pa [[enotski vektor]]ji v smeri vsake od koordinatnih osi. |
Pri tem je '''r'''=(''r'', ''θ'', ''φ'') krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, '''e'''<sub>r</sub>, '''e'''<sub>θ</sub> in '''e'''<sub>φ</sub> pa [[enotski vektor]]ji v smeri vsake od koordinatnih osi. |
||
== Gradient vektorskega polja == |
== Gradient vektorskega polja == |
||
==Literatura== |
|||
* [[Ivan Kuščer]], [[Alojz Kodre]], ''Matematika v fiziki in tehniki'', Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana 1994, str. 56-62. |
|||
== Glej tudi == |
== Glej tudi == |
||
* [[vektorska analiza]] |
* [[vektorska analiza]] |
||
* [[divergenca]], [[rotor]] |
* [[divergenca]], [[rotor]] |
||
== Viri == |
|||
* {{citat|last1= Kuščer|first1= Ivan|authorlink1= Ivan Kuščer|last2= Kodre|first2= Alojz|authorlink2= Alojz Kodre|date= 1994|title= Matematika v fiziki in tehniki|id= |publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]]|location= Ljubljana|pages= 56–62|isbn= 961-212-033-1|cobiss= 41287936|ref= harv}} |
|||
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
Redakcija: 00:46, 11. avgust 2017
Gradiênt je v matematiki diferencialna operacija, definirana nad skalarnim ali vektorskim poljem, ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient se označuje z oznako »grad« ali simbolom (nabla).
Gradient skalarnega polja
Kartezični koordinatni sistem
V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se gradient zapiše kot:
Pri tem je f(r) skalarno polje, odvisno od krajevnega vektorja r = (x, y, z), oznake pa označujejo parcialne odvode po vsaki od koordinat.
Splošni krivočrtni koordinatni sistem
Cilindrični koordinatni sistem
V cilindričnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja f(r) izraža kot:
Pri tem je r=(r, φ, z) krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, er, eφ in ez pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.
Sferni koordinatni sistem
V sfernem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja f(r) izraža kot:
Pri tem je r=(r, θ, φ) krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, er, eθ in eφ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.
Gradient vektorskega polja
Glej tudi
Viri
- Kuščer, Ivan; Kodre, Alojz (1994), Matematika v fiziki in tehniki, Ljubljana: DMFA, str. 56–62, COBISS 41287936, ISBN 961-212-033-1
{{citation}}
: Neveljaven|ref=harv
(pomoč)