Dolžina loka: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina

Znotrajvrstično

Redakcija: 03:06, 11. marec 2017

Dolžína lóka (oziroma dolžína lóka krivúlje) je dolžina vzdolž krivulje med dvema danima točkama. To dolžino bi se dobilo, če bi se krivuljo raztegnilo v premico.

Določanje dolžine loka

Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi rektifikacija krivulje. Naj je realna funkcija $f(x)\,$ , ki ima zvezni odvod v intervalu $[a,{\text{ }}b]\,$ , tako da je $f'(x)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,$ . Dolžina loka med točkama $x=a\,$ in $x=b\,$ se določa z:

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,\mathrm {d} x\!\,.

Kadar pa je funkcija dana v polarnem koordinatnem sistemu kot $r=f(\theta )\,$ , je dolžina loka podana z:

s=\lim \sum _{a}^{b}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t\!\,.

Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je treba uporabiti numerično integriranje.

Odvod

Da se izračuna približna vrednost loka krivulje, se pogosto razdeli krivuljo na veliko manjših delov. Da se dobi točna vrednost loka in ne približek, je treba razdeliti krivuljo na neskončno mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.

Na sliki na desni strani se lahko uporabi Pitagorov izrek in se dobi:

\mathrm {d} s={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}\!\,

ali v drugi obliki:

\int _{a}^{b}{\sqrt {{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\bigg )}^{2}}}\,\mathrm {d} t\!\,.

Kadar je $y\,$ funkcija $x\,$ , se lahko vzame $t=x\,$ , in se dobi za dolžino loka od $x=a\,$ do $x=b\,$ :

\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\bigg (}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\bigg )}^{2}}}\,\mathrm {d} x\!\,.

Zunanje povezave

Weisstein, Eric Wolfgang. »Arc Length«. MathWorld.
Dolžina loka na MathPage (angleško)
Dolžina loka na Mathematics (Harvey Mudd College (angleško)

@@ Vrstica 1: / Vrstica 1: @@
-'''Dolžína lóka''' (oziroma '''dolžína lóka krivúlje''') je [[dolžina]] vzdolž [[krivulja|krivulje]] med dvema danima [[točka]]ma. To dolžino bi dobili, če bi krivuljo raztegnili v [[premica|premico]].
+'''Dolžína lóka''' (oziroma '''dolžína lóka krivúlje''') je [[dolžina]] vzdolž [[krivulja|krivulje]] med dvema danima [[točka]]ma. To dolžino bi se dobilo, če bi se krivuljo raztegnilo v [[premica|premico]].
 == Določanje dolžine loka ==
-[[Slika:Arc length approximation.svg|lang=sl|thumb|right|200px|Za majhen del krivulje lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimo [[Pitagorov izrek]].]]
+[[Slika:Arc length approximation.svg|lang=sl|thumb|right|200px|Za majhen del krivulje se lahko približno za dolžino loka ∆s uporabi [[Pitagorov izrek]].]]
-Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi '''rektifikacija krivulje'''. Vzemimo realno [[funkcija|funkcijo]] <math>f(x)\, </math>, ki ima [[zvezna funkcija|zvezni]] [[odvod]] v intervalu <math>[a, \text { } b]\, </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\, </math>. Dolžina loka med točkama <math>x= a\, </math> in <math>x=b\, </math> se določa z:
+Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi '''rektifikacija krivulje'''. Naj je realna [[funkcija]] <math>f(x)\, </math>, ki ima [[zvezna funkcija|zvezni]] [[odvod]] v intervalu <math>[a, \text { } b]\, </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\, </math>. Dolžina loka med točkama <math>x= a\, </math> in <math>x=b\, </math> se določa z:
 : <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, \mathrm{d} x \!\, . </math>
@@ Vrstica 13: / Vrstica 13: @@
 : <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt {\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2 } \, \mathrm{d} t \!\, . </math>
-Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebno uporabiti [[numerično integriranje]].
+Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je treba uporabiti [[numerično integriranje]].
 == Odvod ==
-Da bi izračunali približno vrednost loka krivulje, pogosto razdelimo krivuljo na veliko manjših delov. Da bi dobili točno vrednost loka in ne približek, moramo razdeliti krivuljo na [[neskončnost|neskončno]] mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.
+Da se izračuna približna vrednost loka krivulje, se pogosto razdeli krivuljo na veliko manjših delov. Da se dobi točna vrednost loka in ne približek, je treba razdeliti krivuljo na [[neskončnost|neskončno]] mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.
-Na sliki na desni strani lahko uporabimo [[Pitagorov izrek]] in dobimo:
+Na sliki na desni strani se lahko uporabi [[Pitagorov izrek]] in se dobi:
 : <math> \mathrm{d} s = \sqrt{\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2} \!\, </math>
@@ Vrstica 27: / Vrstica 27: @@
 : <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\bigg)^2+\bigg(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\bigg)^2} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>
-Kadar je <math>y\, </math> funkcija <math>x\, </math>, lahko vzamemo <math>t=x\, </math>, in dobimo za dolžino loka od <math>x=a\, </math> do <math>x=b\, </math>:
+Kadar je <math>y\, </math> funkcija <math>x\, </math>, se lahko vzame <math>t=x\, </math>, in se dobi za dolžino loka od <math>x=a\, </math> do <math>x=b\, </math>:
 : <math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\bigg)^2} \, \mathrm{d} x \!\, . </math>