Dolžina loka: Razlika med redakcijama

Jump to navigation Jump to search
odstranjeni 3 zlogi ,  pred 5 leti
m
m/dp/slog
m (m/dp/slog)
 
'''Dolžína lóka''' (oziroma '''dolžína lóka krivúlje''') je [[dolžina]] vzdolž [[krivulja|krivulje]] med dvema danima [[točka]]ma. To dolžino bi dobilise dobilo, če bi se krivuljo raztegniliraztegnilo v [[premica|premico]].
 
== Določanje dolžine loka ==
[[Slika:Arc length approximation.svg|lang=sl|thumb|right|200px|Za majhen del krivulje se lahko približno za dolžino loka ∆s uporabimouporabi [[Pitagorov izrek]].]]
 
Določanje dolžine loka krivulje se imenuje tudi '''rektifikacija krivulje'''. VzemimoNaj realnoje realna [[funkcija|funkcijo]] <math>f(x)\, </math>, ki ima [[zvezna funkcija|zvezni]] [[odvod]] v intervalu <math>[a, \text { } b]\, </math>, tako da je <math>f'(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\, </math>. Dolžina loka med točkama <math>x= a\, </math> in <math>x=b\, </math> se določa z:
 
: <math> s = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, \mathrm{d} x \!\, . </math>
: <math> s = \lim \sum_a^b \sqrt { \Delta x^2 + \Delta y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt {\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2 } = \int_{a}^{b} \sqrt { \left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\right)^2 } \, \mathrm{d} t \!\, . </math>
 
Določanje teh integralov je tudi za najenostavnejše krivulje zelo težko. V večini primerov je potrebnotreba uporabiti [[numerično integriranje]].
 
== Odvod ==
 
Da bise izračunaliizračuna približnopribližna vrednost loka krivulje, se pogosto razdelimorazdeli krivuljo na veliko manjših delov. Da bise dobilidobi točnotočna vrednost loka in ne približek, moramoje treba razdeliti krivuljo na [[neskončnost|neskončno]] mnogo manjših delov. To pa pomeni, da je vsak del neskončno majhen.
 
Na sliki na desni strani se lahko uporabimouporabi [[Pitagorov izrek]] in dobimose dobi:
 
: <math> \mathrm{d} s = \sqrt{\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2} \!\, </math>
: <math> \int_a^b \sqrt{\bigg(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\bigg)^2+\bigg(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\bigg)^2} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>
 
Kadar je <math>y\, </math> funkcija <math>x\, </math>, se lahko vzamemovzame <math>t=x\, </math>, in dobimose dobi za dolžino loka od <math>x=a\, </math> do <math>x=b\, </math>:
 
: <math>\int_a^b \sqrt{1+\bigg(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\bigg)^2} \, \mathrm{d} x \!\, . </math>

Navigacijski meni