Središčni binomski koeficient

n-ti središčni binomski koeficient je v matematiki določen z binomskim koeficientom kot:

${2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}},\qquad (n\geq 0)\!\,.$

Tu je n! funkcija fakulteta in n!! dvojna fakulteta. Binomski koeficienti se imenujejo središčni (centralni), ker se pojavljajo točno na sredi sodih vrstic v Pascalovem trikotniku:

										$\mathbf {1}$
									$1$		$1$
								$1$		$\mathbf {2}$		$1$
							$1$		$3$		$3$		$1$
						$1$		$4$		$\mathbf {6}$		$4$		$1$
					$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$
				$1$		$6$		$15$		$\mathbf {20}$		$15$		$6$		$1$
			$1$		$7$		$21$		$35$		$35$		$21$		$7$		$1$
		$1$		$8$		$28$		$56$		$\mathbf {70}$		$56$		$28$		$8$		$1$
	$1$		$9$		$36$		$84$		$126$		$126$		$84$		$36$		$9$		$1$
$1$		$10$		$45$		$120$		$210$		Napaka pri razčlembi (SVG (MathML lahko omogočite z vtičnikom brskalnika): Neveljavni odziv (»Math extension cannot connect to Restbase.«) strežnika »http://localhost:6011/sl.wikipedia.org/v1/«:): {\displaystyle \mathbf {252}}		$210$		$120$		$45$		$10$		$1$

Prve vrednosti središčnih binomskih koeficientov za n ≥ 0 so (OEIS A000984):

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, ... .

V Pascalovi matriki se pojavljajo po njeni diagonali:

$A_{10,10}={\begin{bmatrix}\mathbf {1} &1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&\mathbf {2} &3&4&5&6&7&8&9&10\\1&3&\mathbf {6} &10&15&21&28&36&45&55\\1&4&10&\mathbf {20} &35&56&84&120&165&220\\1&5&15&35&\mathbf {70} &126&210&330&495&715\\1&6&21&56&126&\mathbf {252} &462&792&1287&2002\\1&7&28&84&210&462&\mathbf {924} &1716&3003&5005\\1&8&36&120&330&792&1716&\mathbf {3432} &6435&11440\\1&9&45&165&495&1287&3003&6435&\mathbf {12870} &24310\\1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&\mathbf {48620} \end{bmatrix}}\;,$

Značilnosti

Za središčne binomske koeficiente velja rodovna funkcija:

${\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots \!\,.$,

Wallisov produkt se lahko zapiše v asimptotični obliki za središčni binomski koeficient:

${2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}},{\text{ ko gre }}n\rightarrow \infty \!\,.$

Zadnji izraz se lahko preprosto izpelje s pomočjo Stirlingove formule. Lahko se na drugi strani uporabi za določitev konstante ${\sqrt {2\pi }}$ pred Stirlingovo formulo s primerjavo.

Enostavni meji sta dani z:

${\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n},\qquad (n\geq 1)\!\,.$

Boljši meji sta:

${\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}},\qquad (n\geq 1)\!\,,$

in, če je potrebna še večja točnost:

${2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)\!\,,$

kjer je:

${\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}},\qquad (n\geq 1)\!\,.$

Edini lihi središčni binomski koeficient je 1.

Sorodna zaporedja

Sorodna Catalanova števila C_n so dana z:

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1},\qquad (n\geq 0)\!\,.$

Preprosta posplošitev središčnih binomskih koeficientov je dana kot:

${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\operatorname {\mathrm {B} } (n+1,n)}}\!\,,$

z odgovarjajočimi realnimi števili n, kjer je $\Gamma (x)\,$ funkcija gama in $\operatorname {\mathrm {B} } (x,y)\,$ funkcija beta.

Glej tudi

• Erdőseva domneva o deljivosti brez kvadrata
• središčni multinomski koeficienti

Viri

• Banakh, Iryna; Banakh, Taras; Trisch, Pavel; Vovk, Myroslava (2012), Toehold Purchase Problem: A comparative analysis of two strategies, arXiv:1204.2065 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)
• Koshy, Thomas (2008), Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, COBISS 62943745, ISBN 978-0-19533-454-8 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)

Zunanje povezave

• Središčni binomski koeficient na PlanetMath.org (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Central binomial coefficient«. MathWorld.