Ravninska krivulja

Ravninska krivulja je krivulja v evklidski ravnini. Najbolj pogosto proučevane so gladke ravninske krivulje in alagebrske ravninske krivulje.

Gladka ravninska krivulja je krivulja v realni evklidski ravnini $\mathbb {R} ^{2}\,$. Je gladka mnogoterost. Lokalno se jo lahko poda z enačbo $f(x,y)=0\,$, kjer je $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \,$ gladka funkcija, pri tem pa parcialna odvoda ${\frac {\partial f}{\partial x}}\,$ in ${\frac {\partial f}{\partial y}}\,$ nista enaka nič. To pomeni, da ravninska krivulja lokalno izgleda kot premica s spremembami koordinat. To se lahko pove tudi tako, da je ravninska krivulja vrsta krivulje, ki leži v samo eni ravnini.

Algebrska ravninska krivulja je krivulja v afini ali projektivni ravnini in podana s polinomom $f(x,y)=0\,$ ali z $f(x,y,z)=0\,$ kjer je $f\,$ homogeni polinom.

Algebrske krivulje so temeljito raziskovali vse od 18. do 20. stoletja. S proučevanjem sta pričela že angleški fizik, matematik, astronom, filozof, ezoterik in alkimist Isaac Newton (1943 – 1727) in nemški matematik Bernhard Riemann (1826 – 1866). Veliko so prispevali k razvoju algebrskih krivulj še norveški matematik Niels Henrik Abel (1802 – 1829), francoski matematik in filozof Jules Henri Poincaré (1854 – 1912) ter nemški matematik Max Noether (1844 – 1921).

Zgledi

ime	implicitna enačba	parametrična enačba	kot funkcija	graf
premica	$ax+by=c$	$(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
krožnica	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(r\cos t,r\sin t)$
parabola	$y-x^{2}=0$	$(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
elipsa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(a\cos t,b\sin t)$
hiperbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(a\cosh t,b\sinh t)$

Glej tudi

• algebrska krivulja
• algebrska geometrija
• diferencialna geometrija
• prostorska krivulja

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Plane Curve«. MathWorld.
• Pregled ravninskih krivulj (angleško)
• Seznam ravninskih krivulj (angleško)
• Ravninska krivulja na PlanetMath (angleško)